Surds & Indices Maths

1. करणी और घातांक क्या हैं?

घातांक (Indices/Exponents): किसी संख्या को स्वयं से कितनी बार गुणा करना है, यह बताने वाली संख्या। aⁿ में a = आधार (base) और n = घातांक (power) है।
उदाहरण: 2⁵ = 2×2×2×2×2 = 32

करणी (Surds): वह अपरिमेय संख्या जो किसी परिमेय संख्या का मूल (root) हो, जैसे √2, √3, ∛5। √4 = 2 करणी नहीं है, क्योंकि वह परिमेय है।

2. यह टॉपिक क्यों महत्वपूर्ण है?

• SSC, Railway, Bank परीक्षाओं में Simplification और Algebra में नियमित प्रश्न आते हैं।
• मान निकालना, तुलना करना और समीकरण हल करना, तीनों प्रकार के प्रश्न पूछे जाते हैं।
• सूत्र याद हों तो प्रश्न 20-30 सेकंड में हल हो जाते हैं।

3. घातांक के 8 मूल नियम

नियम	सूत्र	उदाहरण
1. गुणा	aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ	2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128
2. भाग	aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ	5⁶ ÷ 5⁴ = 5² = 25
3. घात की घात	(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ	(3²)³ = 3⁶ = 729
4. शून्य घात	a⁰ = 1 (a ≠ 0)	7⁰ = 1
5. ऋणात्मक घात	a⁻ⁿ = 1/aⁿ	2⁻³ = 1/8
6. भिन्नात्मक घात	a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)	8^(2/3) = (∛8)² = 4
7. समान घात का गुणा	aⁿ × bⁿ = (ab)ⁿ	2³ × 5³ = 10³ = 1000
8. समान घात का भाग	aⁿ ÷ bⁿ = (a/b)ⁿ	6² ÷ 3² = 2² = 4

विशेष: (aᵐ)ⁿ और a^(mⁿ) अलग हैं। 2^(3²) = 2⁹ = 512, जबकि (2³)² = 64।

4. घातांक वाले समीकरण

नियम: यदि aˣ = aʸ (और a ≠ 0, 1, −1), तो x = y।
यदि xᵃ = yᵃ, तो x = y (घात समान हो)।

उदाहरण: 2^(x+1) = 32 → 2^(x+1) = 2⁵ → x+1 = 5 → x = 4

5. करणी (Surds) के नियम

नियम	सूत्र
1	√a × √b = √(ab)
2	√a ÷ √b = √(a/b)
3	(√a)² = a
4	ⁿ√a = a^(1/n)
5	(√a + √b)(√a − √b) = a − b
6	(√a ± √b)² = a + b ± 2√(ab)

सजातीय करणी (Similar Surds)

जिनमें करणी भाग समान हो: 2√3, 5√3 सजातीय हैं।
जोड़: 2√3 + 5√3 = 7√3
असजातीय (√2 + √3) को जोड़ा नहीं जा सकता।

करणी का सरलीकरण

√72 = √(36×2) = 6√2
√50 + √18 = 5√2 + 3√2 = 8√2

6. हर का परिमेयीकरण (Rationalisation)

हर में करणी हो तो उसे परिमेय बनाएँ।

हर	गुणा करें
√a	√a से
√a + √b	√a − √b से (संयुग्मी)
√a − √b	√a + √b से

उदाहरण: 1/(√3 + √2)
= (√3 − √2) / [(√3)² − (√2)²] = (√3 − √2)/(3−2) = √3 − √2

7. करणी की तुलना (सबसे बड़ी/छोटी)

विभिन्न मूलांक हों तो मूलांकों का LCM लेकर घात बराबर करें।

उदाहरण: √2, ∛3, ⁴√5 में सबसे बड़ी?
LCM(2,3,4) = 12
√2 = 2^(6/12) = ¹²√64
∛3 = 3^(4/12) = ¹²√81
⁴√5 = 5^(3/12) = ¹²√125
सबसे बड़ी ⁴√5, सबसे छोटी √2

8. विस्तृत हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1

प्रश्न: (2⁵ × 2⁻² × 2³) ÷ 2⁴
घात का योग: 5−2+3−4 = 2 → 2² = 4

उदाहरण 2

प्रश्न: 27^(2/3) × 16^(1/4)
(∛27)² = 9; ⁴√16 = 2 → 9×2 = 18

उदाहरण 3

प्रश्न: यदि 3^(x−1) = 81, तो x = ?
3^(x−1) = 3⁴ → x−1 = 4 → x = 5

उदाहरण 4: परिमेयीकरण

प्रश्न: 6/(√5 − √2)
= 6(√5 + √2)/(5−2) = 2(√5 + √2) = 2√5 + 2√2

उदाहरण 5: मान

प्रश्न: (√5 + √3)(√5 − √3) = 5 − 3 = 2

उदाहरण 6: समान आधार

प्रश्न: 4^x = 8^(x−1), तो x = ?
2^(2x) = 2^(3x−3) → 2x = 3x − 3 → x = 3

उदाहरण 7: वर्गमूल के भीतर करणी

प्रश्न: √(7 + 4√3)
7 + 4√3 = 4 + 3 + 2×2×√3 = (2 + √3)² → 2 + √3

9. हल करने की 6 आसान ट्रिक्स

1. पहले सभी संख्याओं को अभाज्य आधार (2, 3, 5) में बदलें, फिर घात जोड़ें-घटाएँ।
2. आधार समान करके घात बराबर करें (समीकरणों में)।
3. (√a + √b)(√a − √b) = a − b परिमेयीकरण में सबसे काम आता है।
4. करणी की तुलना में मूलांकों का LCM लें।
5. ऋणात्मक घात आए तो उलटकर धनात्मक बनाएँ।
6. √(a ± 2√b) रूप में दो संख्याएँ खोजें जिनका योग a और गुणनफल b हो।

10. सामान्य गलतियाँ जिनसे बचें

• aᵐ + aⁿ = aᵐ⁺ⁿ लिख देना (घात जोड़ना केवल गुणा में होता है)।
• (a + b)ⁿ = aⁿ + bⁿ मान लेना।
• a⁻ⁿ को ऋणात्मक संख्या समझना (2⁻³ = 1/8, −8 नहीं)।
• गुणा में घात को गुणा कर देना (2³ × 2⁴ ≠ 2¹²)।
• असजातीय करणी को जोड़ देना।
• a⁰ = 0 मानना (a⁰ = 1)।

11. अभ्यास प्रश्न (खुद हल करें)

Q1. (3⁴ × 3⁻²) ÷ 3
Q2. 32^(3/5) = ?
Q3. यदि 5^(2x−1) = 125, तो x = ?
Q4. 1/(√7 − √6) का मान ज्ञात करें।
Q5. √(11 + 6√2) = ?

12. उत्तर और स्पष्टीकरण

Q1. 3 — घात: 4−2−1 = 1 → 3

Q2. 8 — 32 = 2⁵; (2⁵)^(3/5) = 2³ = 8

Q3. 2 — 5^(2x−1) = 5³ → 2x−1 = 3 → x = 2

Q4. √7 + √6 — (√7 + √6)/(7−6) = √7 + √6

Q5. 3 + √2 — 11 + 6√2 = 9 + 2 + 2×3×√2 = (3 + √2)² → 3 + √2

13. मुख्य बिंदु (Quick Revision)

• aᵐ×aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ÷aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, a⁰ = 1, a⁻ⁿ = 1/aⁿ।
• घातांक समीकरण में आधार समान करके घात बराबर करें।
• (√a+√b)(√a−√b) = a−b से हर का परिमेयीकरण होता है।
• करणी की तुलना में मूलांकों का LCM लें।
• √(a ± 2√b) को पूर्ण वर्ग रूप में बदलकर सरल करें।