Decimals Maths

1. दशमलव क्या है?

दशमलव वह संख्या है जिसमें पूर्णांक भाग और भिन्न भाग के बीच एक बिंदु (.) लगाया जाता है। बिंदु के दाईं ओर के अंक भिन्न भाग को दर्शाते हैं, जिनका हर 10, 100, 1000... होता है।

उदाहरण: 25.63 = 25 + 6/10 + 3/100

2. यह टॉपिक क्यों महत्वपूर्ण है?

• SSC, Railway, Bank परीक्षाओं में Simplification के लगभग हर प्रश्न में दशमलव आते हैं।
• भिन्न, प्रतिशत, औसत और लाभ-हानि जैसे टॉपिक्स में दशमलव का प्रयोग होता है।
• आवर्ती दशमलव को भिन्न में बदलने के प्रश्न सीधे पूछे जाते हैं।

3. स्थानीय मान (Place Value)

संख्या 3 4 5 . 6 7 8 में:

अंक	स्थान	मान
3	सैकड़ा	300
4	दहाई	40
5	इकाई	5
6	दशांश (1/10)	0.6
7	शतांश (1/100)	0.07
8	सहस्रांश (1/1000)	0.008

4. दशमलव के प्रकार

प्रकार	विवरण	उदाहरण
सांत (Terminating)	अंक सीमित हैं	0.25, 3.125
असांत आवर्ती (Recurring)	अंक दोहराते हैं	0.333..., 0.1666...
असांत अनावर्ती	न सीमित, न दोहराव (अपरिमेय)	√2 = 1.41421..., π

सांत और आवर्ती दशमलव परिमेय संख्याएँ हैं।

5. दशमलव पर संक्रियाएँ

जोड़-घटाव

दशमलव बिंदु को एक के नीचे एक रखकर करें।
उदाहरण: 12.5 + 3.75 = 16.25

गुणा

बिंदु को हटाकर सामान्य गुणा करें, फिर दोनों संख्याओं के दशमलव स्थानों का योग जितने स्थान गिनकर बिंदु लगाएँ।
उदाहरण: 0.4 × 0.03 → 4×3 = 12, कुल 3 दशमलव स्थान → 0.012

भाग

भाजक को पूर्णांक बनाने के लिए दोनों को 10 की समान घात से गुणा करें।
उदाहरण: 4.5 ÷ 0.15 = 450 ÷ 15 = 30

10, 100, 1000 से गुणा/भाग

• गुणा में बिंदु दाईं ओर खिसकता है: 3.45 × 100 = 345
• भाग में बिंदु बाईं ओर खिसकता है: 3.45 ÷ 100 = 0.0345

6. दशमलव ↔ भिन्न रूपांतरण

(क) सांत दशमलव → भिन्न

उदाहरण: 0.625 = 625/1000 = 5/8
उदाहरण: 2.75 = 275/100 = 11/4

(ख) शुद्ध आवर्ती (सभी अंक दोहराएँ)

सूत्र: आवर्ती अंक / (उतने ही 9)

• 0.3̄ = 3/9 = 1/3
• 0.45̄ (0.4545...) = 45/99 = 5/11
• 0.123̄ (0.123123...) = 123/999 = 41/333

(ग) मिश्रित आवर्ती (कुछ अंक नहीं दोहराते)

सूत्र: (पूरी संख्या − न दोहराने वाला भाग) / (आवर्ती अंकों जितने 9 और न दोहराने वाले जितने 0)

उदाहरण: 0.16̄ (0.1666...)
(16 − 1)/90 = 15/90 = 1/6

उदाहरण: 0.2̄7̄ यानी 0.2777...
(27 − 2)/90 = 25/90 = 5/18

7. दशमलव का सन्निकटन (Rounding)

• 5 या उससे अधिक हो तो पिछला अंक एक बढ़ाएँ; 5 से कम हो तो वही रखें।
• उदाहरण: 3.4567 को 2 दशमलव स्थान तक: 3.4567 → 3.46

8. विस्तृत हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1

प्रश्न: 0.6 × 0.07 + 0.5
0.6 × 0.07 = 0.042; 0.042 + 0.5 = 0.542

उदाहरण 2

प्रश्न: 7.2 ÷ 0.012
7200 ÷ 12 = 600

उदाहरण 3: आवर्ती का योग

प्रश्न: 0.3̄ + 0.6̄
1/3 + 2/3 = 1

उदाहरण 4: वर्गमूल

प्रश्न: √0.0144
√144 = 12, दशमलव स्थान 4 (सम) → आधे यानी 2 स्थान → 0.12

उदाहरण 5: तुलना

प्रश्न: 0.5, 0.45, 0.505 में सबसे बड़ी?
समान स्थान बनाएँ: 0.500, 0.450, 0.505 → सबसे बड़ी 0.505

उदाहरण 6: शब्द-प्रश्न

प्रश्न: 1 मीटर कपड़े का मूल्य ₹12.50 है। 4.8 मीटर का मूल्य?
12.5 × 4.8 = ₹60

9. हल करने की 6 आसान ट्रिक्स

1. गुणा-भाग में पहले बिंदु हटाकर पूर्णांक की तरह हल करें, फिर बिंदु लगाएँ।
2. तुलना में सभी संख्याओं के दशमलव स्थान बराबर करें (शून्य जोड़कर)।
3. आवर्ती दशमलव को तुरंत भिन्न में बदलें।
4. 1/2 से 1/12 तक के दशमलव रूप याद रखें (1/8 = 0.125, 1/16 = 0.0625)।
5. वर्गमूल में दशमलव स्थान सम हों तो आधे करें, विषम हों तो अंत में शून्य जोड़ें।
6. भाग में भाजक को पूर्णांक बनाना सबसे पहला कदम रखें।

10. सामान्य गलतियाँ जिनसे बचें

• गुणा में दशमलव स्थान गलत गिनना।
• 0.5 और 0.50 को अलग मानना (दोनों बराबर हैं)।
• 0.45 को 0.5 से बड़ा समझना (अंकों की संख्या से तुलना न करें)।
• मिश्रित आवर्ती में 9 और 0 का क्रम उलटना।
• जोड़-घटाव में बिंदु सीध में न रखना।

11. अभ्यास प्रश्न (खुद हल करें)

Q1. 3.6 × 0.25 ÷ 0.9
Q2. 0.36̄ (0.363636...) को भिन्न में बदलें।
Q3. 0.1̄ + 0.2̄ + 0.3̄
Q4. √0.000169
Q5. 0.7, 0.07, 0.707, 0.77 में सबसे छोटी और सबसे बड़ी संख्या?

12. उत्तर और स्पष्टीकरण

Q1. 1 — 3.6 × 0.25 = 0.9; 0.9 ÷ 0.9 = 1

Q2. 4/11 — 36/99 = 4/11

Q3. 2/3 — 1/9 + 2/9 + 3/9 = 6/9 = 2/3

Q4. 0.013 — √169 = 13; 6 दशमलव स्थान → 3 स्थान → 0.013

Q5. सबसे छोटी 0.07, सबसे बड़ी 0.77 — समान स्थान: 0.700, 0.070, 0.707, 0.770

13. मुख्य बिंदु (Quick Revision)

• दशमलव = पूर्णांक + भिन्न भाग (बिंदु के बाद)।
• गुणा में दशमलव स्थानों का योग; भाग में भाजक को पूर्णांक बनाएँ।
• शुद्ध आवर्ती: अंक/999..; मिश्रित आवर्ती: (पूरी − न दोहराने वाली)/(99..0..)।
• तुलना में दशमलव स्थान बराबर करके देखें।
• सांत व आवर्ती दशमलव परिमेय, असांत अनावर्ती अपरिमेय होते हैं।