Fractions Maths

1. भिन्न क्या है?

भिन्न किसी पूर्ण वस्तु के भाग को दर्शाने वाली संख्या है, जिसे p/q के रूप में लिखा जाता है (q ≠ 0)।

p/q में p = अंश (Numerator) और q = हर (Denominator) है।
उदाहरण: 3/5 का मतलब है किसी चीज़ को 5 बराबर भागों में बाँटकर उनमें से 3 भाग लेना।

2. यह टॉपिक क्यों महत्वपूर्ण है?

• SSC, Railway, Bank परीक्षाओं में Simplification, Percentage, Ratio, Profit-Loss सभी की नींव भिन्न है।
• भिन्नों की तुलना, क्रम और संक्रियाओं पर सीधे प्रश्न भी आते हैं।
• भिन्न और प्रतिशत के रूपांतरण याद होने से गणना बहुत तेज़ होती है।

3. भिन्नों के प्रकार

प्रकार	विवरण	उदाहरण
उचित भिन्न (Proper)	अंश < हर (मान 1 से कम)	3/7, 5/9
अनुचित भिन्न (Improper)	अंश ≥ हर (मान 1 से अधिक या बराबर)	7/3, 9/9
मिश्रित भिन्न (Mixed)	पूर्णांक + उचित भिन्न	2 1/3
समान भिन्न (Like)	हर समान	2/7, 3/7, 5/7
असमान भिन्न (Unlike)	हर अलग	1/2, 2/3
तुल्य भिन्न (Equivalent)	मान बराबर	1/2 = 2/4 = 3/6
दशमलव भिन्न	हर 10, 100, 1000...	3/10, 7/100

4. मिश्रित और अनुचित भिन्न का रूपांतरण

मिश्रित → अनुचित: (पूर्णांक × हर + अंश) / हर
उदाहरण: 3 2/5 = (3×5 + 2)/5 = 17/5

अनुचित → मिश्रित: अंश को हर से भाग दें; भागफल = पूर्णांक, शेषफल = नया अंश
उदाहरण: 23/4 → 23÷4 = 5 शेष 3 → 5 3/4

5. भिन्नों की तुलना

(क) समान हर वाली भिन्न

जिसका अंश बड़ा, वही भिन्न बड़ी। उदाहरण: 5/9 > 4/9

(ख) समान अंश वाली भिन्न

जिसका हर छोटा, वही भिन्न बड़ी। उदाहरण: 3/4 > 3/5

(ग) असमान भिन्न: तिर्यक गुणन (Cross Multiplication)

a/b और c/d की तुलना के लिए a×d और b×c देखें।
उदाहरण: 5/7 और 8/11
5×11 = 55, 7×8 = 56 → 55 < 56 → 5/7 < 8/11

(घ) अंश और हर का अंतर समान हो

जब अंश-हर का अंतर बराबर हो, तो बड़े अंश-हर वाली भिन्न बड़ी होती है।
उदाहरण: 3/4 < 5/6 < 7/8 (अंतर 1)

6. भिन्नों पर संक्रियाएँ

संक्रिया	नियम	उदाहरण
जोड़/घटाव (समान हर)	अंश जोड़ें/घटाएँ, हर वही	2/7 + 3/7 = 5/7
जोड़/घटाव (असमान हर)	हरों का LCM लेकर समान हर बनाएँ	1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6
गुणा	अंश×अंश / हर×हर	2/3 × 4/5 = 8/15
भाग	दूसरी भिन्न का उलटा लेकर गुणा	2/3 ÷ 4/5 = 2/3 × 5/4 = 10/12 = 5/6

7. महत्वपूर्ण भिन्न-प्रतिशत रूपांतरण (अवश्य याद करें)

भिन्न	प्रतिशत	भिन्न	प्रतिशत
1/2	50%	1/8	12.5%
1/3	33.33%	1/9	11.11%
1/4	25%	1/10	10%
1/5	20%	1/11	9.09%
1/6	16.67%	1/12	8.33%
1/7	14.28%	1/16	6.25%

उपयोग: 3/8 = 3 × 12.5% = 37.5%, 5/6 = 5 × 16.67% = 83.33%

8. विस्तृत हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: जोड़-घटाव

प्रश्न: 2/3 + 3/4 − 5/6
LCM(3,4,6) = 12
8/12 + 9/12 − 10/12 = 7/12 → 7/12

उदाहरण 2: मिश्रित भिन्न का गुणा

प्रश्न: 2 1/2 × 1 1/5
5/2 × 6/5 = 30/10 = 3

उदाहरण 3: भाग

प्रश्न: 3/8 ÷ 9/16
3/8 × 16/9 = 48/72 = 2/3

उदाहरण 4: आरोही क्रम

प्रश्न: 3/5, 2/3, 4/7 को छोटे से बड़े क्रम में लिखें।
दशमलव में: 3/5 = 0.6, 2/3 = 0.667, 4/7 = 0.571
क्रम: 4/7 < 3/5 < 2/3

उदाहरण 5: भिन्न का भाग ("का")

प्रश्न: 3/4 का 2/5 क्या होगा?
3/4 × 2/5 = 6/20 = 3/10

उदाहरण 6: शब्द-प्रश्न

प्रश्न: एक टंकी का 2/5 भाग भरा है। 30 लीटर और डालने पर वह 7/10 भर जाती है। टंकी की क्षमता?
7/10 − 2/5 = 7/10 − 4/10 = 3/10 भाग = 30 लीटर
पूरी टंकी = 30 × 10/3 = 100 लीटर

उदाहरण 7: भिन्न का योग (श्रृंखला)

प्रश्न: 1/(1×2) + 1/(2×3) + 1/(3×4) + 1/(4×5)
प्रत्येक पद = 1/n − 1/(n+1), इसलिए योग = 1 − 1/5 = 4/5

9. हल करने की 6 आसान ट्रिक्स

1. तुलना के लिए तिर्यक गुणन सबसे तेज़ है।
2. 1/2 से 1/12 तक के प्रतिशत याद रखें, गणना आधी हो जाती है।
3. मिश्रित भिन्न को गुणा-भाग में पहले अनुचित बनाएँ।
4. गुणा से पहले अंश-हर में काट-छाँट (cancel) करें।
5. जोड़-घटाव में हरों का LCM लें, गुणनफल नहीं।
6. "का" का मतलब गुणा है, और BODMAS में इसे पहले हल करें।

10. सामान्य गलतियाँ जिनसे बचें

• जोड़ में अंश और हर दोनों को जोड़ देना (1/2 + 1/3 ≠ 2/5)।
• भाग में उलटा लेना भूल जाना।
• मिश्रित भिन्न के पूर्णांक को अलग गुणा कर देना (2 1/2 × 3 ≠ 6 1/2)।
• तुलना में हर बड़ा होने पर भिन्न को बड़ा समझ लेना।
• भिन्न को सरलतम रूप में न लिखना।

11. अभ्यास प्रश्न (खुद हल करें)

Q1. 3/4 + 5/6 − 1/3
Q2. 3 1/3 ÷ 1 1/9
Q3. 5/8, 7/12, 2/3 में सबसे बड़ी भिन्न कौन-सी है?
Q4. 480 का 5/8 का 3/5 क्या होगा?
Q5. 1/(2×3) + 1/(3×4) + 1/(4×5)

12. उत्तर और स्पष्टीकरण

Q1. 5/4 (1 1/4) — LCM = 12: 9/12 + 10/12 − 4/12 = 15/12 = 5/4

Q2. 3 — 10/3 ÷ 10/9 = 10/3 × 9/10 = 3

Q3. 2/3 — दशमलव: 0.625, 0.583, 0.667 → सबसे बड़ी 2/3

Q4. 180 — 480 × 5/8 = 300; 300 × 3/5 = 180

Q5. 3/10 — 1/2 − 1/5 = 5/10 − 2/10 = 3/10

13. मुख्य बिंदु (Quick Revision)

• भिन्न = अंश/हर; उचित (<1), अनुचित (≥1), मिश्रित।
• तुलना: तिर्यक गुणन; समान हर → बड़ा अंश; समान अंश → छोटा हर।
• जोड़-घटाव में हरों का LCM; गुणा में सीधे अंश×अंश, हर×हर; भाग में उलटा करके गुणा।
• 1/2 से 1/12 तक के प्रतिशत अवश्य याद रखें।
• "का" = गुणा, और BODMAS में पहले हल होता है।