Square and Square Root

1. वर्ग (Square) क्या है?

जब किसी संख्या को उसी संख्या से गुणा किया जाता है, तो प्राप्त गुणनफल उस संख्या का वर्ग कहलाता है।

• 7 का वर्ग = 7 × 7 = 49
• इसे 7² लिखते हैं।

2. वर्गमूल (Square Root) क्या है?

वर्गमूल, वर्ग की उल्टी क्रिया है। जिस संख्या को अपने आप से गुणा करने पर दी गई संख्या मिले, वह उसका वर्गमूल है।

• 49 का वर्गमूल = 7, क्योंकि 7 × 7 = 49
• इसे √49 = 7 लिखते हैं।

3. वर्ग सारणी (1 से 30 तक): जरूर याद करें

संख्या	वर्ग	संख्या	वर्ग	संख्या	वर्ग
1	1	11	121	21	441
2	4	12	144	22	484
3	9	13	169	23	529
4	16	14	196	24	576
5	25	15	225	25	625
6	36	16	256	26	676
7	49	17	289	27	729
8	64	18	324	28	784
9	81	19	361	29	841
10	100	20	400	30	900

4. पूर्ण वर्ग (Perfect Square) की पहचान

इकाई अंक का नियम: किसी पूर्ण वर्ग संख्या का इकाई अंक केवल 0, 1, 4, 5, 6, 9 हो सकता है।

• जिस संख्या के अंत में 2, 3, 7, 8 हो, वह कभी पूर्ण वर्ग नहीं होती।
• अंत में शून्यों की संख्या हमेशा सम (even) होती है। 100 और 8100 पूर्ण वर्ग हैं, लेकिन 1000 नहीं है।

इकाई अंक से वर्गमूल का अंतिम अंक पहचानें:

वर्ग का इकाई अंक	वर्गमूल का इकाई अंक
1	1 या 9
4	2 या 8
5	5
6	4 या 6
9	3 या 7
0	0

5. वर्ग निकालने की शानदार ट्रिक्स

ट्रिक 1: 5 पर अंत होने वाली संख्या का वर्ग

अंत के 5 से पहले वाले अंक को उससे अगले अंक से गुणा करें और पीछे 25 लिख दें।

• 35² → 3 × 4 = 12, पीछे 25 → 1225
• 65² → 6 × 7 = 42, पीछे 25 → 4225
• 95² → 9 × 10 = 90, पीछे 25 → 9025

ट्रिक 2: विषम संख्याओं का योग

पहली n विषम संख्याओं का योग = n²

• 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4²
• 1 + 3 + 5 + … + 21 (11 संख्याएँ) = 11² = 121

ट्रिक 3: सूत्र से वर्ग

• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a − b)² = a² − 2ab + b²

उदाहरण:

• 52² = (50 + 2)² = 2500 + 200 + 4 = 2704
• 98² = (100 − 2)² = 10000 − 400 + 4 = 9604

ट्रिक 4: आसन्न वर्गों का अंतर

n² और (n−1)² का अंतर = 2n − 1

• 25² − 24² = 2 × 25 − 1 = 49

ट्रिक 5: क्रमागत संख्याओं के वर्ग

• n² और (n+1)² के बीच 2n संख्याएँ ऐसी होती हैं जो पूर्ण वर्ग नहीं हैं।
• 10² = 100 और 11² = 121 के बीच 20 संख्याएँ हैं।

6. वर्गमूल निकालने की विधियाँ

विधि 1: अभाज्य गुणनखंड विधि

उदाहरण: √1764

1764 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7 × 7
जोड़े बनाएँ: (2 × 2), (3 × 3), (7 × 7)
प्रत्येक जोड़े से एक संख्या लें: 2 × 3 × 7 = 42

विधि 2: भाग विधि (Division Method)

उदाहरण: √5329

1. अंकों को दाएँ से बाएँ दो-दो के जोड़े में बाँटें: 53 | 29
2. 53 से छोटा सबसे बड़ा वर्ग 49 (7²) है, तो भागफल 7 और शेष 4 आया।
3. 29 नीचे उतारें, तो 429 बना। भाजक को दोगुना करें: 14_
4. 14_ × _ = 429 हो, ऐसा अंक खोजें: 143 × 3 = 429
5. उत्तर = 73

विधि 3: ट्रिक से (4 अंकों की पूर्ण वर्ग संख्या)

उदाहरण: √7056

• 70 से छोटा वर्ग 64 (8²) है, इसलिए दहाई का अंक 8।
• इकाई अंक 6 है, इसलिए वर्गमूल का अंत 4 या 6 होगा।
• 80² = 6400 और 90² = 8100 है, और 7056 बीच में है। 85² = 7225 है, जो 7056 से बड़ा है। इसलिए संख्या 85 से छोटी होगी, यानी 84।
• उत्तर = 84 (जाँच: 84² = 7056 ✓)

दशमलव संख्या का वर्गमूल

दशमलव के बाद अंकों की संख्या का आधा, वर्गमूल में दशमलव के बाद अंक होंगे।

• √0.0196 = 0.14
• √0.0049 = 0.07

7. महत्वपूर्ण मान (याद रखें)

• √2 = 1.414
• √3 = 1.732
• √5 = 2.236
• √6 = 2.449
• √7 = 2.646
• √10 = 3.162

8. परीक्षा में पूछे जाने वाले प्रश्न-प्रकार

प्रकार 1: कितनी छोटी संख्या से गुणा करें कि पूर्ण वर्ग बने?

252 को किस छोटी संख्या से गुणा करें कि पूर्ण वर्ग मिले?
252 = 2² × 3² × 7। यहाँ 7 का जोड़ा नहीं बना, इसलिए उत्तर 7।

प्रकार 2: कितनी संख्या जोड़ें कि पूर्ण वर्ग बने?

1000 में क्या जोड़ें कि पूर्ण वर्ग मिले?
31² = 961 और 32² = 1024 है। 1000 के बाद अगला वर्ग 1024 है, इसलिए 1024 − 1000 = 24।

प्रकार 3: कितनी संख्या घटाएँ कि पूर्ण वर्ग बने?

1000 में से क्या घटाएँ कि पूर्ण वर्ग मिले?
1000 से पहले का निकटतम वर्ग 961 है, इसलिए 1000 − 961 = 39।

प्रकार 4: मिश्रित मूल

√(√6561) = ?
√6561 = 81 और √81 = 9।

9. अभ्यास प्रश्न (Practice Questions)

1. 13² का मान क्या होगा?
2. √7056 = ?
3. √0.0196 = ?
4. 1 + 3 + 5 + … + 21 का योग ज्ञात करें।
5. 95² = ?
6. 252 को किस छोटी संख्या से गुणा करें कि पूर्ण वर्ग बने?
7. 1000 में कितना जोड़ें कि पूर्ण वर्ग मिले?
8. √1936 = ?

उत्तर: 1) 169 2) 84 3) 0.14 4) 121 5) 9025 6) 7 7) 24 8) 44

10. परीक्षा के लिए टिप्स

• 1 से 30 तक के वर्ग रटें और 1 से 20 तक के घन भी याद करें।
• इकाई अंक के नियम से विकल्प तुरंत काटें, इससे आधा समय बचता है।
• बड़े वर्ग के लिए (a ± b)² सूत्र का प्रयोग करें।
• रोज़ 10 प्रश्न हल करें और समय नोट करें।

निष्कर्ष

वर्ग एवं वर्गमूल का अध्याय शुरू में रटने का लगता है, लेकिन ट्रिक्स आने के बाद सबसे आसान अंक दिलाने वाले अध्यायों में से एक बन जाता है। सारणी याद करें, इकाई अंक के नियम लगाएँ और रोज़ अभ्यास करें, तो SSC, Bank, Railway और RPSC में ये प्रश्न आपके पक्के अंक होंगे।