Square & Cube Maths

1. वर्ग और घन क्या हैं?

वर्ग (Square): किसी संख्या को स्वयं से एक बार गुणा करने पर मिला मान। n² = n × n
उदाहरण: 7² = 7 × 7 = 49

घन (Cube): किसी संख्या को स्वयं से दो बार गुणा करने पर मिला मान। n³ = n × n × n
उदाहरण: 4³ = 4 × 4 × 4 = 64

2. यह टॉपिक क्यों महत्वपूर्ण है?

• SSC, Railway, Bank परीक्षाओं में Simplification, Series, Mensuration सभी में वर्ग-घन की ज़रूरत पड़ती है।
• वर्ग और घन याद होने से गणना की गति कई गुना बढ़ती है।
• Number Series और Odd One Out में पूर्ण वर्ग/घन पहचानना ज़रूरी है।

3. 1 से 30 तक के वर्ग (अवश्य याद करें)

n	n²	n	n²	n	n²
1	1	11	121	21	441
2	4	12	144	22	484
3	9	13	169	23	529
4	16	14	196	24	576
5	25	15	225	25	625
6	36	16	256	26	676
7	49	17	289	27	729
8	64	18	324	28	784
9	81	19	361	29	841
10	100	20	400	30	900

4. 1 से 15 तक के घन (अवश्य याद करें)

n	n³	n	n³
1	1	9	729
2	8	10	1000
3	27	11	1331
4	64	12	1728
5	125	13	2197
6	216	14	2744
7	343	15	3375
8	512

5. वर्ग निकालने की ट्रिक्स

(क) 5 पर अंत होने वाली संख्या का वर्ग

(n5)² = n × (n+1) के बाद 25 लिखें।

• 35² → 3×4 = 12 → 1225
• 75² → 7×8 = 56 → 5625
• 115² → 11×12 = 132 → 13225

(ख) 50 के पास की संख्या

• 52² = (50+2)² = 2500 + 200 + 4 = 2704
• 48² = (50−2)² = 2500 − 200 + 4 = 2304

(ग) सूत्र द्वारा

• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a − b)² = a² − 2ab + b²
• a² − b² = (a + b)(a − b)

उदाहरण: 99² = (100−1)² = 10000 − 200 + 1 = 9801
उदाहरण: 63² − 37² = (63+37)(63−37) = 100 × 26 = 2600

(घ) 10 से 20 के बीच (आधार विधि)

• 17² → 17 + 7 = 24, इकाई का वर्ग 7² = 49 → 24 के बाद 9 और 4 वहन: 240 + 49 = 289

6. वर्ग संख्या की पहचान

पूर्ण वर्ग संख्या के अंतिम अंक सदैव 0, 1, 4, 5, 6, 9 होते हैं।
कभी भी 2, 3, 7, 8 पर समाप्त नहीं होती।

संख्या का अंतिम अंक	वर्ग का अंतिम अंक
1 या 9	1
2 या 8	4
3 या 7	9
4 या 6	6
5	5
0	0

अन्य नियम:

• अंत में विषम संख्या में शून्य हों तो पूर्ण वर्ग नहीं (जैसे 1000)।
• पूर्ण वर्ग का अंक-योग (digital root) केवल 1, 4, 7, 9 हो सकता है।

7. घन निकालने की ट्रिक्स

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

उदाहरण: 21³ = (20+1)³ = 8000 + 1200 + 60 + 1 = 9261
उदाहरण: 99³ = (100−1)³ = 1000000 − 30000 + 300 − 1 = 970299

घन का अंतिम अंक

संख्या का अंतिम अंक	घन का अंतिम अंक
1	1
2	8
3	7
4	4
5	5
6	6
7	3
8	2
9	9
0	0

याद रखें: 2↔8 और 3↔7 आपस में बदलते हैं, बाकी वही रहते हैं।

8. विशेष संख्या संबंध

• क्रमागत वर्गों का अंतर: (n+1)² − n² = 2n + 1
• n² = प्रथम n विषम संख्याओं का योग
• 1³ + 2³ + ... + n³ = [n(n+1)/2]²
• 1² + 2² + ... + n² = n(n+1)(2n+1)/6

9. विस्तृत हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1

प्रश्न: 85² = ?
8 × 9 = 72 → 7225

उदाहरण 2

प्रश्न: 102² = ?
(100 + 2)² = 10000 + 400 + 4 = 10404

उदाहरण 3

प्रश्न: 56² − 44² = ?
(56+44)(56−44) = 100 × 12 = 1200

उदाहरण 4: अज्ञात वर्ग

प्रश्न: 1 से 100 तक कितनी पूर्ण वर्ग संख्याएँ हैं?
1², 2², ..., 10² → 10

उदाहरण 5: गुणन से पूर्ण वर्ग

प्रश्न: 180 को किस सबसे छोटी संख्या से गुणा करें कि पूर्ण वर्ग बने?
180 = 2² × 3² × 5; 5 की घात विषम है → 5 से गुणा करें (900 = 30²)

उदाहरण 6: पूर्ण घन

प्रश्न: 108 को किस सबसे छोटी संख्या से गुणा करें कि पूर्ण घन बने?
108 = 2² × 3³; 2 की घात 2 है, 3 चाहिए → 2 से गुणा करें (216 = 6³)

उदाहरण 7: योग

प्रश्न: 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ = ?
[5×6/2]² = 15² = 225

10. हल करने की 6 आसान ट्रिक्स

1. 1 से 30 तक के वर्ग और 1 से 15 तक के घन रट लें।
2. 5 पर अंत होने वाली संख्या का वर्ग: n×(n+1) और 25।
3. 100 या 50 के पास की संख्या पर (a±b)² सूत्र लगाएँ।
4. दो वर्गों का अंतर हो तो (a+b)(a−b) लगाएँ।
5. विकल्प छाँटने के लिए अंतिम अंक देखें।
6. पूर्ण वर्ग/घन बनाने के लिए अभाज्य गुणनखंड में विषम (या 3 से अविभाज्य) घात ढूँढें।

11. सामान्य गलतियाँ जिनसे बचें

• (a+b)² = a² + b² लिख देना (बीच का 2ab भूलना)।
• वर्ग और गुणा 2 को मिलाना (7² = 49, 14 नहीं)।
• घन के सूत्र में चिह्न गलत लगाना।
• अंतिम अंक देखकर 2, 3, 7, 8 पर अंत होने वाली संख्या को पूर्ण वर्ग मान लेना।
• बड़े वर्ग में स्थान मान की गलती।

12. अभ्यास प्रश्न (खुद हल करें)

Q1. 95² = ?
Q2. 73² − 27² = ?
Q3. 31³ = ?
Q4. 252 को किस सबसे छोटी संख्या से गुणा करें कि पूर्ण वर्ग बने?
Q5. 1² + 2² + 3² + ... + 10² = ?

13. उत्तर और स्पष्टीकरण

Q1. 9025 — 9 × 10 = 90 → 9025

Q2. 4600 — (73+27)(73−27) = 100 × 46 = 4600

Q3. 29791 — (30+1)³ = 27000 + 2700 + 90 + 1 = 29791

Q4. 7 — 252 = 2² × 3² × 7 → 7 से गुणा, 1764 = 42²

Q5. 385 — 10×11×21/6 = 2310/6 = 385

14. मुख्य बिंदु (Quick Revision)

• वर्ग = n×n, घन = n×n×n; 1-30 के वर्ग और 1-15 के घन याद रखें।
• 5 पर अंत: n×(n+1) और 25।
• पूर्ण वर्ग का अंतिम अंक 0,1,4,5,6,9 ही हो सकता है।
• (a±b)², a²−b², (a±b)³ सूत्र गणना को बहुत तेज़ करते हैं।
• पूर्ण वर्ग/घन बनाने के लिए अभाज्य गुणनखंडन का प्रयोग करें।