Compound Interest

1. चक्रवृद्धि ब्याज क्या है?

जब ब्याज की गणना हर अवधि के बाद मूलधन + पिछले जमा ब्याज पर की जाती है, तो उसे चक्रवृद्धि ब्याज (CI) कहते हैं। यानी "ब्याज पर भी ब्याज" लगता है। इसीलिए CI, साधारण ब्याज (SI) से अधिक होता है (पहले वर्ष को छोड़कर, जहाँ दोनों बराबर होते हैं)।

मूलधन (P): शुरुआती राशि
दर (R): वार्षिक ब्याज दर %
समय (n): वर्षों की संख्या
मिश्रधन (A): मूलधन + ब्याज

2. यह टॉपिक क्यों महत्वपूर्ण है?

• SSC, Railway, Bank परीक्षाओं में 2-3 प्रश्न लगभग हर बार आते हैं।
• SI-CI का अंतर, जनसंख्या वृद्धि और मूल्य ह्रास (depreciation) के प्रश्न इसी सूत्र पर बनते हैं।
• सही ट्रिक आती हो तो ये प्रश्न 30 सेकंड में हल हो जाते हैं।

3. मूल सूत्र

मिश्रधन: A = P × (1 + R/100)ⁿ
चक्रवृद्धि ब्याज: CI = A − P

उदाहरण: ₹10,000 पर 10% वार्षिक दर से 2 वर्ष का CI?
A = 10000 × (1.1)² = 10000 × 1.21 = ₹12,100
CI = 12,100 − 10,000 = ₹2,100

4. ब्याज अर्ध-वार्षिक, त्रैमासिक हो तो

संयोजन अवधि	दर	समय
अर्ध-वार्षिक (6 माह)	R/2	n × 2
त्रैमासिक (3 माह)	R/4	n × 4
मासिक	R/12	n × 12

उदाहरण: ₹8,000 पर 10% वार्षिक दर, अर्ध-वार्षिक संयोजन, 1 वर्ष
दर = 5%, अवधि = 2
A = 8000 × (1.05)² = 8000 × 1.1025 = ₹8,820
CI = ₹820

5. भिन्न दरें (अलग-अलग वर्षों में अलग दर)

A = P × (1 + R₁/100)(1 + R₂/100)(1 + R₃/100)

उदाहरण: ₹5,000 पर पहले वर्ष 10%, दूसरे वर्ष 20%
A = 5000 × 1.1 × 1.2 = ₹6,600

6. भिन्नात्मक समय (जैसे 2½ वर्ष)

पूर्ण वर्षों पर CI और शेष भाग पर SI लगता है।

उदाहरण: ₹4,000 पर 10% दर, 2½ वर्ष
पहले 2 वर्ष: 4000 × 1.21 = 4,840
अगले ½ वर्ष का SI: 4840 × 10 × ½ / 100 = 242
A = 4,840 + 242 = ₹5,082

7. SI और CI का अंतर (शॉर्टकट)

समय	अंतर का सूत्र
2 वर्ष	P × (R/100)²
3 वर्ष	P × (R/100)² × (3 + R/100)

उदाहरण: ₹5,000 पर 10% दर, 2 वर्ष का CI-SI अंतर?
5000 × (0.1)² = ₹50

उदाहरण (उलटा): 2 वर्ष का अंतर ₹90 और R = 15%, तो P?
P = 90 × (100/15)² = 90 × 400/9 = ₹4,000

8. 2 वर्ष के CI का शॉर्टकट

कुल प्रभावी दर = R + R + R²/100

उदाहरण: 20% दर पर 2 वर्ष: 20 + 20 + 400/100 = 44%
इसलिए ₹5,000 पर CI = 44% × 5000 = ₹2,200

9. वृद्धि और ह्रास

• जनसंख्या वृद्धि: P × (1 + R/100)ⁿ
• मूल्य ह्रास (Depreciation): P × (1 − R/100)ⁿ

उदाहरण: ₹4,00,000 की मशीन का मूल्य प्रति वर्ष 10% घटता है। 2 वर्ष बाद?
4,00,000 × 0.9 × 0.9 = ₹3,24,000

10. धन का गुना होना (Doubling)

72 का नियम: दोगुना होने का लगभग समय = 72 ÷ R वर्ष
उदाहरण: 8% पर धन लगभग 72/8 = 9 वर्ष में दोगुना होगा।

यदि कोई राशि n वर्ष में दोगुनी हो: तो उसके 2n वर्ष में 4 गुनी और 3n वर्ष में 8 गुनी होगी।

11. किस्तों के प्रश्न (बराबर वार्षिक किस्त)

उदाहरण: ₹2,100 का ऋण 10% CI पर दो समान वार्षिक किस्तों में चुकाना है। किस्त?
मान लें किस्त x: x/1.1 + x/1.21 = 2100
x(10/11 + 100/121) = 2100 → x × 210/121 = 2100 → x = ₹1,210

12. विस्तृत हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1

प्रश्न: ₹6,250 पर 8% वार्षिक दर से 2 वर्ष का CI?
8% = 2/25, इसलिए A = 6250 × 27/25 × 27/25 = ₹7,290
CI = 7290 − 6250 = ₹1,040

उदाहरण 2

प्रश्न: कोई राशि 3 वर्ष में 8 गुनी हो जाती है। कितने वर्ष में 64 गुनी होगी?
8 = 2³ → 3 वर्ष में 2 गुनी... यहाँ हर 1 वर्ष में 2 गुनी (8 = 2³), तो 64 = 2⁶ → 6 वर्ष

उदाहरण 3

प्रश्न: ₹3,000 पर 2 वर्ष का CI ₹630 है। दर क्या है?
A = 3630; (1 + R/100)² = 3630/3000 = 1.21 → 1 + R/100 = 1.1 → R = 10%

उदाहरण 4

प्रश्न: ₹15,625 पर 4% दर, 3 वर्ष के मिश्रधन का मान?
4% = 1/25 → A = 15625 × (26/25)³ = 15625 × 17576/15625 = ₹17,576

13. हल करने की 6 आसान ट्रिक्स

1. दर को भिन्न में बदलें (10% = 1/10, 20% = 1/5, 12.5% = 1/8) और मूलधन को उसकी घात का गुणज मानें।
2. 2 वर्ष के CI में R + R + R²/100 का प्रयोग करें।
3. SI-CI अंतर वाले प्रश्नों में सीधे P(R/100)² लगाएँ।
4. अर्ध-वार्षिक/त्रैमासिक में दर भाग और समय गुणा करें।
5. दोगुना/तिगुना होने के प्रश्नों में घातांक का तर्क लगाएँ।
6. उत्तर विकल्पों से अंतिम अंक देखकर जल्दी छाँटें।

14. सामान्य गलतियाँ जिनसे बचें

• A और CI को आपस में बदल देना (A में मूलधन शामिल है, CI में नहीं)।
• अर्ध-वार्षिक में केवल दर आधी करना, समय दोगुना करना भूल जाना।
• भिन्नात्मक समय में पूरे समय पर CI लगाना (शेष भाग पर SI लगता है)।
• SI-CI अंतर के सूत्र को 3 वर्ष पर भी 2 वर्ष वाला लगा देना।
• (1 + R/100)ⁿ की गुणा में गणना त्रुटि करना।

15. अभ्यास प्रश्न (खुद हल करें)

Q1. ₹12,000 पर 5% वार्षिक दर से 2 वर्ष का CI?
Q2. ₹8,000 पर 20% वार्षिक दर, अर्ध-वार्षिक संयोजन से 1 वर्ष का मिश्रधन?
Q3. ₹4,000 पर 2 वर्ष का CI और SI का अंतर ₹10 है। दर?
Q4. किसी राशि पर 2 वर्ष का SI ₹1,200 और CI ₹1,272 है। दर क्या है?
Q5. कोई राशि 5% पर 4 वर्ष में कितने गुनी से थोड़ी अधिक होगी (लगभग)? (संकेत: 72 का नियम)

16. उत्तर और स्पष्टीकरण

Q1. ₹1,230 — 5% पर 2 वर्ष: 5+5+25/100 = 10.25% → 12000 × 10.25% = ₹1,230

Q2. ₹9,680 — दर 10%, अवधि 2: 8000 × 1.1 × 1.1 = ₹9,680

Q3. 5% — 4000 × (R/100)² = 10 → (R/100)² = 1/400 → R/100 = 1/20 → R = 5%

Q4. 12% — अंतर = 72 = SI के एक वर्ष का ब्याज × R/100; एक वर्ष का SI = 600; 600 × R/100 = 72 → R = 12%

Q5. लगभग 1.22 गुनी — (1.05)⁴ ≈ 1.2155, यानी लगभग 21.6% वृद्धि। 72 का नियम केवल दोगुना होने के समय का अनुमान देता है, इसलिए यहाँ सीधा सूत्र बेहतर है।

17. मुख्य बिंदु (Quick Revision)

• A = P(1 + R/100)ⁿ, CI = A − P।
• अर्ध-वार्षिक: दर R/2, समय 2n; त्रैमासिक: R/4, 4n।
• 2 वर्ष का SI-CI अंतर = P(R/100)²।
• 2 वर्ष का प्रभावी CI % = R + R + R²/100।
• भिन्नात्मक समय में पूर्ण वर्षों पर CI, शेष पर SI।