Cube and Cube Root

1. घन (Cube) क्या है?

जब किसी संख्या को उसी संख्या से तीन बार गुणा किया जाता है, तो प्राप्त गुणनफल उस संख्या का घन कहलाता है।

• 4 का घन = 4 × 4 × 4 = 64
• इसे 4³ लिखते हैं।

2. घनमूल (Cube Root) क्या है?

जिस संख्या को तीन बार गुणा करने पर दी गई संख्या मिले, वह उसका घनमूल है।

• 64 का घनमूल = 4, क्योंकि 4 × 4 × 4 = 64
• इसे ∛64 = 4 लिखते हैं।

3. घन सारणी (1 से 20 तक): जरूर याद करें

4. घन के महत्वपूर्ण गुण

• सम संख्या का घन सम होता है और विषम संख्या का घन विषम होता है।
• ऋणात्मक संख्या का घन ऋणात्मक होता है। (−3)³ = −27
• ऋणात्मक संख्या का घनमूल भी ऋणात्मक होता है। ∛(−27) = −3
• जिस संख्या के अंत में 0 हो, उसके घन के अंत में तीन गुने शून्य होते हैं। 20³ = 8000
• पूर्ण घन संख्या के अंकों का योग (एक अंक में आने तक) हमेशा 1, 8 या 9 होता है। जैसे 1728 → 1+7+2+8 = 18 → 1+8 = 9
• ∛(a × b) = ∛a × ∛b

5. इकाई अंक का नियम (सबसे महत्वपूर्ण)

याद रखने की ट्रिक: 1, 4, 5, 6, 9 और 0 का घन उसी अंक पर खत्म होता है। 2 ↔ 8 और 3 ↔ 7 आपस में बदल जाते हैं।

इसका मतलब है कि घन का इकाई अंक देखते ही घनमूल का इकाई अंक पता चल जाता है। वर्गमूल में दो विकल्प मिलते थे, यहाँ केवल एक अंक मिलता है।

6. घनमूल निकालने की ट्रिक (5 सेकंड विधि)

चरण:

1. संख्या को दाएँ से तीन-तीन अंकों के समूह में बाँटें।
2. अंतिम समूह (दाईं ओर) के इकाई अंक से घनमूल का इकाई अंक निकालें (ऊपर की तालिका से)।
3. बचे हुए बाईं ओर के अंकों से छोटे से छोटा या बराबर पूर्ण घन ढूँढें। उसका घनमूल दहाई का अंक होगा।

उदाहरण 1: ∛17576

• समूह: 17 | 576
• 576 का इकाई अंक 6 है, इसलिए घनमूल का इकाई अंक 6।
• बाईं ओर 17 है। 17 से छोटा सबसे बड़ा घन 8 (2³) है, इसलिए दहाई का अंक 2।
• उत्तर = 26

उदाहरण 2: ∛2197

• समूह: 2 | 197
• इकाई अंक 7, इसलिए घनमूल का इकाई अंक 3।
• बाईं ओर 2 है। 2 से छोटा सबसे बड़ा घन 1 (1³) है, इसलिए दहाई का अंक 1।
• उत्तर = 13

उदाहरण 3: ∛59319

• समूह: 59 | 319
• इकाई अंक 9, इसलिए घनमूल का इकाई अंक 9।
• बाईं ओर 59 है। 59 से छोटा सबसे बड़ा घन 27 (3³) है, इसलिए दहाई का अंक 3।
• उत्तर = 39

उदाहरण 4: ∛110592

• समूह: 110 | 592
• इकाई अंक 2, इसलिए घनमूल का इकाई अंक 8।
• बाईं ओर 110 है। 110 से छोटा सबसे बड़ा घन 64 (4³) है, इसलिए दहाई का अंक 4।
• उत्तर = 48

7. अभाज्य गुणनखंड विधि से घनमूल

उदाहरण: ∛3375

3375 = 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5
तीन-तीन के समूह बनाएँ: (3 × 3 × 3), (5 × 5 × 5)
प्रत्येक समूह से एक संख्या लें: 3 × 5 = 15

8. महत्वपूर्ण सूत्र

• (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
• (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
• a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
• a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
• पहली n प्राकृत संख्याओं के घनों का योग = [n(n+1)/2]²

उदाहरण: 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ = [5 × 6 / 2]² = 15² = 225

वर्ग एवं घन का संबंध: 5 पर खत्म होने वाली संख्या के घन के लिए सूत्र से काम लें।

• 15³ = (10 + 5)³ = 1000 + 1500 + 750 + 125 = 3375

9. परीक्षा में पूछे जाने वाले प्रश्न-प्रकार

प्रकार 1: कितनी छोटी संख्या से गुणा करें कि पूर्ण घन बने?

108 को किस छोटी संख्या से गुणा करें?
108 = 2² × 3³। यहाँ 2 के तीन जोड़ीदार नहीं हैं, केवल दो हैं। एक और 2 चाहिए, इसलिए उत्तर 2।

392 को किस छोटी संख्या से गुणा करें?
392 = 2³ × 7²। यहाँ 7 केवल दो बार है, एक और चाहिए, इसलिए उत्तर 7।

प्रकार 2: कितनी छोटी संख्या से भाग दें कि पूर्ण घन बने?

500 को किस छोटी संख्या से भाग दें?
500 = 2² × 5³। 2² अधूरा समूह है, इसलिए 4 से भाग दें, तो 125 (5³) मिलेगा। उत्तर 4।

प्रकार 3: कितनी संख्या जोड़ें कि पूर्ण घन बने?

200 में क्या जोड़ें?
5³ = 125 और 6³ = 216। 200 के बाद अगला घन 216 है, इसलिए 216 − 200 = 16।

प्रकार 4: कितनी संख्या घटाएँ कि पूर्ण घन बने?

300 में से क्या घटाएँ?
300 से पहले का निकटतम घन 216 है, इसलिए 300 − 216 = 84।

प्रकार 5: दशमलव और भिन्न का घनमूल

• ∛0.027 = 0.3 (दशमलव के बाद 3 अंक, घनमूल में 1 अंक)
• ∛(8/125) = ∛8 / ∛125 = 2/5

10. महत्वपूर्ण अनुमानित मान (याद रखें)

• ∛2 ≈ 1.260
• ∛3 ≈ 1.442
• ∛4 ≈ 1.587
• ∛5 ≈ 1.710

11. अभ्यास प्रश्न (Practice Questions)

1. 17³ का मान क्या होगा?
2. ∛2744 = ?
3. ∛(−1728) = ?
4. ∛0.027 = ?
5. ∛(8/125) = ?
6. 108 को किस छोटी संख्या से गुणा करें कि पूर्ण घन बने?
7. 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ = ?
8. ∛110592 = ?
9. 392 को किस छोटी संख्या से गुणा करें कि पूर्ण घन बने?
10. ∛(125 × 343) = ?

उत्तर: 1) 4913 2) 14 3) −12 4) 0.3 5) 2/5 6) 2 7) 225 8) 48 9) 7 10) 35

12. परीक्षा के लिए टिप्स

• 1 से 20 तक के घन रट लें। यही सबसे बड़ा हथियार है।
• इकाई अंक की तालिका (2↔8, 3↔7) अच्छी तरह याद करें।
• घनमूल के प्रश्न में पहले इकाई अंक निकालें, फिर बाईं ओर के अंकों से दहाई का अंक। विकल्प अक्सर यहीं कट जाते हैं।
• पूर्ण घन का अंक-योग 1, 8 या 9 आना चाहिए, इससे गलत विकल्प जल्दी हटते हैं।

निष्कर्ष

घन एवं घनमूल के प्रश्न एक बार ट्रिक समझ आने पर सबसे तेज हल होने वाले प्रश्नों में गिने जाते हैं। घन सारणी याद करें, इकाई अंक का नियम लगाएँ और रोज़ अभ्यास करें, तो SSC, Bank, Railway और RPSC में ये अंक आपके पक्के होंगे।