LCM & HCF Maths

1. LCM और HCF क्या हैं?

HCF (महत्तम समापवर्तक / म.स.प.): दो या अधिक संख्याओं का वह सबसे बड़ा गुणनखंड जो सभी संख्याओं को पूरी तरह विभाजित करे।
उदाहरण: 12 और 18 का HCF = 6

LCM (लघुत्तम समापवर्त्य / ल.स.प.): दो या अधिक संख्याओं का वह सबसे छोटा गुणज जो सभी संख्याओं से पूरी तरह विभाजित हो।
उदाहरण: 12 और 18 का LCM = 36

याद रखने की तरकीब: HCF = सबसे बड़ा भाजक, LCM = सबसे छोटा गुणज।

2. यह टॉपिक क्यों महत्वपूर्ण है?

• SSC, Railway, Bank परीक्षाओं में हर बार 2-4 प्रश्न आते हैं।
• घड़ी की घंटी, चक्कर लगाना, टाइल/रस्सी काटना, शेषफल जैसे शब्द-प्रश्न इसी पर आधारित हैं।
• Fractions, Simplification और Time-Work के लिए भी आवश्यक है।

3. HCF निकालने की विधियाँ

(क) अभाज्य गुणनखंड विधि

सभी संख्याओं में उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की सबसे छोटी घात का गुणनफल।

उदाहरण: 24 और 36 का HCF
24 = 2³ × 3, 36 = 2² × 3²
HCF = 2² × 3 = 12

(ख) भाग विधि (Division Method)

बड़ी संख्या को छोटी से भाग दें, फिर भाजक को शेषफल से, जब तक शेषफल 0 न हो। अंतिम भाजक = HCF।

उदाहरण: 84 और 126 का HCF
126 ÷ 84 = 1 शेष 42
84 ÷ 42 = 2 शेष 0
HCF = 42

4. LCM निकालने की विधियाँ

(क) अभाज्य गुणनखंड विधि

सभी अभाज्य गुणनखंडों की सबसे बड़ी घात का गुणनफल।

उदाहरण: 24 और 36 का LCM
LCM = 2³ × 3² = 8 × 9 = 72

(ख) सह-विभाजन विधि (Ladder Method)

संख्याओं को उभयनिष्ठ अभाज्य संख्याओं से भाग देते जाएँ और सभी भाजकों व अंतिम शेष का गुणनफल लें।

उदाहरण: 12, 18, 24 का LCM
2 | 12, 18, 24 → 6, 9, 12
3 | 6, 9, 12 → 2, 3, 4
2 | 2, 3, 4 → 1, 3, 2
LCM = 2 × 3 × 2 × 1 × 3 × 2 = 72

5. सबसे महत्वपूर्ण सूत्र

दो संख्याओं a और b के लिए:

HCF × LCM = a × b

उदाहरण: दो संख्याओं का HCF 6 और LCM 72 है। एक संख्या 18 है तो दूसरी?
दूसरी = (6 × 72) ÷ 18 = 24

ध्यान दें: यह सूत्र केवल दो संख्याओं के लिए सही है, तीन के लिए नहीं।

6. अन्य महत्वपूर्ण तथ्य

1. HCF हमेशा संख्याओं से छोटा या बराबर होता है; LCM हमेशा बड़ा या बराबर।
2. HCF, LCM का गुणनखंड होता है (LCM, HCF से विभाज्य है)।
3. सह-अभाज्य संख्याओं का HCF = 1 और LCM = उनका गुणनफल।
4. यदि एक संख्या दूसरी का गुणज हो, तो HCF = छोटी संख्या, LCM = बड़ी संख्या।

7. भिन्नों का HCF और LCM

	सूत्र
HCF (भिन्न)	अंशों का HCF ÷ हरों का LCM
LCM (भिन्न)	अंशों का LCM ÷ हरों का HCF

उदाहरण: 2/3, 4/9, 6/11 का HCF
अंशों (2,4,6) का HCF = 2; हरों (3,9,11) का LCM = 99
HCF = 2/99

8. शब्द-प्रश्नों के मानक प्रकार

(क) LCM आधारित: "एक साथ कब मिलेंगे"

प्रश्न: तीन घंटियाँ 6, 8 और 12 मिनट में बजती हैं। साथ बजने के बाद अगली बार कब साथ बजेंगी?
LCM(6, 8, 12) = 24 मिनट

(ख) HCF आधारित: "सबसे बड़ा माप / बराबर टुकड़े"

प्रश्न: 48 मी और 72 मी लंबी रस्सियों को बराबर टुकड़ों में काटना है। सबसे बड़ा टुकड़ा कितना होगा?
HCF(48, 72) = 24 मी

(ग) शेषफल वाला प्रश्न (सबसे बड़ी संख्या)

प्रश्न: वह सबसे बड़ी संख्या जो 60 और 74 को भाग देने पर क्रमशः शेषफल 4 और 2 दे।
HCF(60−4, 74−2) = HCF(56, 72) = 8

(घ) शेषफल वाला प्रश्न (सबसे छोटी संख्या)

प्रश्न: वह सबसे छोटी संख्या जो 6, 8, 12 से भाग देने पर हर बार शेषफल 5 दे।
LCM(6, 8, 12) + 5 = 24 + 5 = 29

(ङ) अंतर आधारित शेषफल

प्रश्न: वह सबसे छोटी संख्या जिसे 8, 12, 16 से भाग देने पर शेषफल क्रमशः 3, 7, 11 रहे।
यहाँ भाजक − शेषफल = 5 (हर बार समान)
LCM(8, 12, 16) − 5 = 48 − 5 = 43

(च) n अंकों की सबसे बड़ी/छोटी संख्या

प्रश्न: 3 अंकों की सबसे छोटी संख्या जो 6, 8, 12 से विभाज्य हो।
LCM = 24; 100 ÷ 24 = 4.17 → अगला गुणज 24 × 5 = 120

9. हल करने की 6 आसान ट्रिक्स

1. "एक साथ", "फिर से मिलना", "सबसे छोटी" → LCM; "सबसे बड़ा", "बराबर भाग/टुकड़े" → HCF।
2. शेषफल समान (r) हो: LCM + r (छोटी संख्या) या HCF(संख्या − r) (बड़ी संख्या)।
3. भाजक−शेषफल समान (k) हो: LCM − k।
4. शेषफल अलग-अलग हों: पहले संख्याओं में से शेषफल घटाकर HCF निकालें।
5. HCF × LCM = गुणनफल सिर्फ दो संख्याओं में लगाएँ।
6. बड़ी संख्याओं का HCF भाग विधि से जल्दी निकलता है।

10. सामान्य गलतियाँ जिनसे बचें

• HCF और LCM को आपस में बदल देना।
• तीन संख्याओं में HCF × LCM = गुणनफल लगाना।
• शेषफल वाले प्रश्न में शेषफल घटाना या जोड़ना भूल जाना।
• LCM में सबसे बड़ी घात की जगह छोटी घात ले लेना (और HCF में उल्टा)।
• भिन्नों में HCF/LCM के सूत्र उलट देना।

11. अभ्यास प्रश्न (खुद हल करें)

Q1. 36 और 48 का HCF और LCM ज्ञात करें।
Q2. दो संख्याओं का गुणनफल 1620 और HCF 9 है। LCM क्या होगा?
Q3. वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात करें जो 12, 15, 20 से भाग देने पर हर बार शेषफल 3 दे।
Q4. वह सबसे बड़ी संख्या जो 245 और 1029 को भाग देने पर दोनों में शेषफल 5 दे।
Q5. 4/5, 8/15 और 12/25 का HCF क्या है?

12. उत्तर और स्पष्टीकरण

Q1. HCF = 12, LCM = 144 — 36 = 2²×3², 48 = 2⁴×3; HCF = 2²×3 = 12; LCM = 2⁴×3² = 144

Q2. 180 — LCM = 1620 ÷ 9 = 180

Q3. 63 — LCM(12, 15, 20) = 60; 60 + 3 = 63

Q4. 16 — HCF(245−5, 1029−5) = HCF(240, 1024) = 16

Q5. 4/75 — अंशों (4, 8, 12) का HCF = 4; हरों (5, 15, 25) का LCM = 75; HCF = 4/75

13. मुख्य बिंदु (Quick Revision)

• HCF = सबसे बड़ा भाजक; LCM = सबसे छोटा गुणज।
• HCF × LCM = a × b (केवल दो संख्याओं के लिए)।
• HCF में सबसे छोटी घात, LCM में सबसे बड़ी घात।
• शेषफल समान → LCM + r; भाजक−शेषफल समान → LCM − k।
• भिन्न: HCF = अंशों का HCF/हरों का LCM; LCM = अंशों का LCM/हरों का HCF।