Remainder Maths

1. शेषफल क्या है?

जब किसी संख्या को दूसरी संख्या से भाग दिया जाता है और वह पूरी तरह विभाजित नहीं होती, तो जो भाग बच जाता है उसे शेषफल (Remainder) कहते हैं।

भाग एल्गोरिथम: भाज्य = (भाजक × भागफल) + शेषफल
नियम: शेषफल हमेशा 0 से बड़ा या बराबर और भाजक से छोटा होता है।

उदाहरण: 47 ÷ 6 → 47 = 6×7 + 5, शेषफल = 5

2. यह टॉपिक क्यों महत्वपूर्ण है?

• SSC, Railway, Bank परीक्षाओं में 2-3 प्रश्न नियमित आते हैं।
• बड़ी घातों (जैसे 7¹⁰⁰ ÷ 5) और बड़े गुणनफलों के शेषफल पूछे जाते हैं।
• यह LCM-HCF, Divisibility और Cyclicity से सीधा जुड़ा है।

3. शेषफल के बुनियादी नियम

मान लें a को n से भाग देने पर शेषफल r₁ और b को n से भाग देने पर शेषफल r₂ है:

संक्रिया	शेषफल
जोड़ (a + b)	(r₁ + r₂) को n से भाग देने पर शेष
घटाव (a − b)	(r₁ − r₂) को n से भाग देने पर शेष (ऋणात्मक हो तो n जोड़ें)
गुणा (a × b)	(r₁ × r₂) को n से भाग देने पर शेष
घात (aᵏ)	(r₁ᵏ) को n से भाग देने पर शेष

उदाहरण 1: गुणा

प्रश्न: 23 × 17 को 5 से भाग देने पर शेषफल?
23÷5 → शेष 3; 17÷5 → शेष 2
3×2 = 6; 6÷5 → शेष 1

उदाहरण 2: जोड़

प्रश्न: 47 + 58 को 9 से भाग देने पर शेषफल?
47÷9 → शेष 2; 58÷9 → शेष 4
2+4 = 6

उदाहरण 3: घटाव

प्रश्न: 32 − 45 को 7 से भाग देने पर शेषफल?
32÷7 → शेष 4; 45÷7 → शेष 3
4−3 = 1

4. ऋणात्मक शेषफल (अत्यंत उपयोगी ट्रिक)

जब शेषफल भाजक के करीब हो, तो उसे ऋणात्मक लिखकर गणना आसान करें।

उदाहरण: 19 ÷ 20 का शेषफल 19 है, जिसे −1 भी लिख सकते हैं।

प्रश्न: 19¹⁰⁰ को 20 से भाग देने पर शेषफल?
19 ≡ −1 (mod 20)
(−1)¹⁰⁰ = 1 (सम घात)
शेषफल = 1

प्रश्न: 18⁵⁵ को 19 से भाग देने पर शेषफल?
18 ≡ −1
(−1)⁵⁵ = −1 (विषम घात)
−1 + 19 = 18

5. घात वाले प्रश्न: चक्रीयता (Cyclicity) विधि

शेषफल एक निश्चित क्रम में दोहराते हैं।

प्रश्न: 2¹⁰⁰ को 7 से भाग देने पर शेषफल?
2¹ = 2 → शेष 2
2² = 4 → शेष 4
2³ = 8 → शेष 1
चक्र की लंबाई = 3 (2, 4, 1, 2, 4, 1...)
100 ÷ 3 = 33 शेष 1 → चक्र का पहला मान = 2

प्रश्न: 3⁵⁰ को 5 से भाग देने पर शेषफल?
3¹=3, 3²=9→4, 3³=27→2, 3⁴=81→1; चक्र = 4
50 ÷ 4 = 12 शेष 2 → दूसरा मान = 4

6. 10, 100, 1000 से शेषफल (आसान)

• 10 से: अंतिम अंक
• 100 से: अंतिम दो अंक
• 2, 5, 10 से: अंतिम अंक के आधार पर
• 4 से: अंतिम दो अंकों को 4 से भाग दें
• 8 से: अंतिम तीन अंकों को 8 से भाग दें
• 3 और 9 से: अंकों का योग लेकर भाग दें
• 11 से: (विषम स्थान योग − सम स्थान योग) को 11 से भाग दें

उदाहरण: 7854 को 4 से भाग: अंतिम दो अंक 54 ÷ 4 → शेष 2

7. फर्मेट का छोटा प्रमेय (Fermat's Little Theorem)

यदि p अभाज्य है और a, p से विभाज्य नहीं है, तो:
aᵖ⁻¹ ÷ p का शेषफल = 1

प्रश्न: 3¹⁰ को 11 से भाग देने पर शेषफल?
p = 11, तो 3¹⁰ ≡ 1 → शेषफल 1

प्रश्न: 2¹⁰⁰ को 11 से भाग?
2¹⁰ ≡ 1, इसलिए 2¹⁰⁰ = (2¹⁰)¹⁰ ≡ 1 → शेषफल 1

8. शेषफल के शब्द-प्रश्न

(क) एक संख्या, दो भाजक

प्रश्न: एक संख्या को 5 से भाग देने पर शेष 3 और 7 से भाग देने पर शेष 3 रहता है। सबसे छोटी संख्या?
LCM(5,7) + 3 = 35 + 3 = 38

(ख) भाजक बदलने पर शेषफल

प्रश्न: एक संख्या को 18 से भाग देने पर शेष 7 आता है। उसी संख्या को 6 से भाग दें तो शेषफल?
7 ÷ 6 → शेष 1 (क्योंकि 6, 18 का गुणनखंड है)

ध्यान दें: यह नियम तभी लगता है जब नया भाजक पुराने भाजक का गुणनखंड हो।

(ग) भाग देने पर शेषफल दिया हो, भागफल से संबंध

प्रश्न: भाजक 12, भागफल 15, शेषफल 5 हो तो भाज्य?
भाज्य = 12×15 + 5 = 185

9. हल करने की 6 आसान ट्रिक्स

1. बड़े गुणनफल में पहले हर संख्या का शेषफल लें, फिर गुणा करें।
2. शेषफल भाजक के पास हो तो −1, −2 वाला ऋणात्मक रूप लें।
3. घात वाले प्रश्नों में चक्र की लंबाई निकालें, फिर घात को चक्र से भाग दें।
4. अभाज्य भाजक हो तो फर्मेट के छोटे प्रमेय का प्रयोग करें।
5. शेषफल बराबर (r) हो: LCM + r।
6. अंतिम उत्तर को हमेशा भाजक से छोटा रखें; ऋणात्मक आए तो भाजक जोड़ें।

10. सामान्य गलतियाँ जिनसे बचें

• शेषफल को भाजक के बराबर या अधिक रख देना (शेषफल हमेशा भाजक से छोटा)।
• चक्र में जब घात चक्र की लंबाई से पूरी विभाजित हो, तब अंतिम मान लेना भूल जाना (शेष 0 → चक्र का आखिरी मान)।
• ऋणात्मक शेषफल को सीधे उत्तर लिख देना।
• जोड़ में शेषफलों का योग भाजक से अधिक आने पर फिर भाग न देना।
• भाजक बदलने का नियम गुणनखंड न होने पर भी लगा देना।

11. अभ्यास प्रश्न (खुद हल करें)

Q1. 345 × 678 को 7 से भाग देने पर शेषफल?
Q2. 17¹⁰¹ को 18 से भाग देने पर शेषफल?
Q3. 2⁵⁰ को 7 से भाग देने पर शेषफल?
Q4. एक संख्या को 8 से भाग देने पर शेष 5 आता है। उसी को 4 से भाग दें तो शेषफल?
Q5. वह सबसे छोटी संख्या जिसे 6, 9 और 12 से भाग देने पर हर बार शेष 4 आए।

12. उत्तर और स्पष्टीकरण

Q1. 3 — 345÷7 → 345 = 7×49 + 2, शेष 2; 678 = 7×96 + 6, शेष 6; 2×6 = 12 → 12÷7 → 5
(सही उत्तर: 5)

Q2. 17 — 17 ≡ −1 (mod 18); (−1)¹⁰¹ = −1; −1+18 = 17

Q3. 4 — चक्र (2, 4, 1), लंबाई 3; 50÷3 = 16 शेष 2 → दूसरा मान 4

Q4. 1 — 5 ÷ 4 → शेष 1 (4, 8 का गुणनखंड है)

Q5. 40 — LCM(6, 9, 12) = 36; 36 + 4 = 40

13. मुख्य बिंदु (Quick Revision)

• भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल; शेषफल भाजक से छोटा।
• जोड़, घटाव, गुणा, घात: पहले शेषफल लें, फिर संक्रिया करें, फिर दोबारा भाग दें।
• भाजक के पास वाले शेषफल को ऋणात्मक लिखें (जैसे 19 ≡ −1 mod 20)।
• घात के लिए चक्रीयता और अभाज्य भाजक के लिए फर्मेट का छोटा प्रमेय।
• शेषफल समान हो तो LCM + r।