Possibility Cases in Syllogism

1. परिचय

Possibility Cases Syllogism का वह हिस्सा है जिसमें निष्कर्ष "पक्का सही" नहीं, बल्कि "संभव है" की शक्ल में दिया जाता है, जैसे "संभावना है कि सभी A, B हैं" या "कुछ A, B हो सकते हैं।" बैंक (IBPS PO/Clerk, SBI), SSC, रेलवे, RPSC, RSMSSB और पुलिस परीक्षाओं में Syllogism के साथ इससे हर बार 1-3 प्रश्न आते हैं।

यहाँ सवाल यह नहीं है कि निष्कर्ष हमेशा सही है या नहीं। सवाल यह है कि कथनों के साथ वह कभी भी सच हो सकता है या नहीं।

2. संभावना का मूल नियम

संभावना वाला निष्कर्ष तब सही है जब कम से कम एक ऐसा वेन आरेख बन सके जिसमें सारे कथन भी सही हों और वह निष्कर्ष भी।

इसका उलटा भी उतना ही ज़रूरी है:
संभावना वाला निष्कर्ष तब गलत है जब कथन उसके सीधे विरुद्ध हों, यानी कोई भी आरेख ऐसा न बन सके।

3. संभावना कब सही और कब गलत

दिया गया कथन	संभावना जो सही है	संभावना जो गलत है
कुछ A, B हैं	सभी A, B हैं; कुछ A, B नहीं हैं	कोई A, B नहीं है
सभी A, B हैं	सभी B, A हैं; कुछ B, A नहीं हैं	कुछ A, B नहीं हैं; कोई A, B नहीं है
कोई A, B नहीं है	कुछ A, B नहीं हैं (यह तो पक्का भी है)	कुछ A, B हैं; सभी A, B हैं
कुछ A, B नहीं हैं	कोई A, B नहीं है; कुछ A, B हैं	सभी A, B हैं

अतिरिक्त नियम: जो निष्कर्ष कथनों से पक्का निकलता है, उसकी संभावना भी सही मानी जाती है।

4. जब दो कथन जुड़े हों: सामान्य रूप

कथन	पक्का निष्कर्ष	मुख्य संभावनाएँ
कुछ A, B हैं + कुछ B, C हैं	कोई नहीं	सभी A, C हैं ✓; कोई A, C नहीं है ✓; सभी C, A हैं ✓
सभी A, B हैं + सभी B, C हैं	सभी A, C हैं	सभी C, A हैं ✓; कुछ C, A नहीं हैं ✓; कोई A, C नहीं है ✗
कुछ A, B हैं + सभी B, C हैं	कुछ A, C हैं	सभी A, C हैं ✓; कुछ A, C नहीं हैं ✓; कोई A, C नहीं है ✗
सभी A, B हैं + कुछ B, C हैं	कोई नहीं	सभी A, C हैं ✓; कोई A, C नहीं है ✓; कुछ A, C हैं ✓
कुछ A, B हैं + कोई B, C नहीं है	कुछ A, C नहीं हैं	कोई A, C नहीं है ✓; कुछ A, C हैं ✓; सभी A, C हैं ✗
कोई A, B नहीं है + सभी B, C हैं	कुछ C, A नहीं हैं	कुछ A, C हैं ✓; सभी A, C हैं ✓; सभी C, A हैं ✗

5. हल करने की स्टेप-बाय-स्टेप विधि

1. कथनों के पक्के निष्कर्ष पहले निकाल लें (मुख्य Syllogism की तालिका से)।
2. संभावना वाले निष्कर्ष को कथनों के विरुद्ध जाँचें। अगर सीधा विरोध हो, तो गलत।
3. विरोध न दिखे तो एक वेन आरेख बनाकर देखें कि सारे कथन और वह निष्कर्ष साथ में सच हो सकते हैं या नहीं।
4. अगर एक भी आरेख में हो जाए, तो संभावना सही है।
5. पक्का निष्कर्ष जो हो चुका है, उसके विरुद्ध की संभावना हमेशा गलत होगी।

6. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1 (कुछ + सभी)

कथन: कुछ कलम किताबें हैं। सभी किताबें मेज़ हैं।
निष्कर्ष:
I. संभावना है कि सभी कलम मेज़ हैं।
II. संभावना है कि कोई कलम मेज़ नहीं है।

• पक्का निष्कर्ष: कुछ कलम मेज़ हैं (कुछ + सभी)
• I: सभी कलम मेज़ हों, यह संभव है (कलम का पूरा घेरा मेज़ के अंदर बन सकता है) ✓
• II: "कोई कलम मेज़ नहीं है", पक्के निष्कर्ष "कुछ कलम मेज़ हैं" के विरुद्ध है ✗

उत्तर: केवल I सही है।

उदाहरण 2 (कुछ + कुछ)

कथन: कुछ कुत्ते बिल्लियाँ हैं। कुछ बिल्लियाँ पक्षी हैं।
निष्कर्ष:
I. संभावना है कि सभी कुत्ते पक्षी हैं।
II. संभावना है कि कोई कुत्ता पक्षी नहीं है।
III. कुछ कुत्ते पक्षी हैं।

• I: ऐसा आरेख बन सकता है जिसमें कुत्तों का घेरा पक्षियों के अंदर हो और बिल्लियों का घेरा दोनों को काटे। ✓
• II: ऐसा आरेख भी बन सकता है जिसमें कुत्ते और पक्षी अलग रहें और बिल्लियाँ दोनों को अलग-अलग हिस्सों में काटें। ✓
• III: यह पक्का निष्कर्ष नहीं है (कुछ + कुछ से कोई पक्का निष्कर्ष नहीं बनता) ✗

उत्तर: I और II सही हैं।

उदाहरण 3 (सभी + सभी)

कथन: सभी A, B हैं। सभी B, C हैं।
निष्कर्ष:
I. संभावना है कि सभी C, A हैं।
II. संभावना है कि कोई A, C नहीं है।
III. संभावना है कि कुछ C, A नहीं हैं।

• पक्का निष्कर्ष: सभी A, C हैं
• I: A, B और C तीनों के बराबर होने पर सभी C, A हो सकते हैं ✓
• II: पक्के निष्कर्ष "सभी A, C हैं" के विरुद्ध ✗
• III: C का घेरा A से बड़ा हो सकता है ✓

उत्तर: I और III सही हैं।

उदाहरण 4 (कोई नहीं + कुछ)

कथन: कोई A, B नहीं है। कुछ B, C हैं।
निष्कर्ष:
I. संभावना है कि कुछ A, C हैं।
II. संभावना है कि सभी C, B हैं।
III. संभावना है कि कुछ B, A हैं।

• पक्का निष्कर्ष: कुछ C, A नहीं हैं
• I: A, B से अलग है, पर C का एक हिस्सा B के बाहर निकलकर A को काट सकता है ✓
• II: C का पूरा घेरा B के अंदर आ सकता है, और तब भी "कुछ B, C हैं" सही रहता है ✓
• III: "कोई A, B नहीं है" के विरुद्ध ✗

उत्तर: I और II सही हैं।

उदाहरण 5 (पक्का बनाम संभावना)

कथन: कुछ किताबें कलम हैं।
निष्कर्ष:
I. सभी किताबें कलम हैं।
II. संभावना है कि सभी किताबें कलम हैं।
III. संभावना है कि कोई किताब कलम नहीं है।

• I: यह पक्का निष्कर्ष नहीं है ✗
• II: सभी किताबें कलम हों, यह संभव है ✓
• III: "कुछ किताबें कलम हैं" के सीधे विरुद्ध ✗

उत्तर: केवल II सही है।

उदाहरण 6 (तीन कथन)

कथन: सभी A, B हैं। कुछ B, C हैं। कोई C, D नहीं है।
निष्कर्ष:
I. संभावना है कि कुछ A, C हैं।
II. संभावना है कि सभी A, D हैं।
III. संभावना है कि कुछ D, C हैं।

• I: A, B के अंदर है और B का एक हिस्सा C को काटता है। A उस हिस्से तक जा सकता है ✓
• II: A पूरी तरह B और D के साझा हिस्से में बैठ सकता है, जो C से बाहर है। "कोई C, D नहीं है" भी सही रहता है ✓
• III: "कोई C, D नहीं है" के सीधे विरुद्ध ✗

उत्तर: I और II सही हैं।

उदाहरण 7 (कुछ नहीं वाला कथन)

कथन: कुछ A, B नहीं हैं।
निष्कर्ष:
I. संभावना है कि सभी A, B हैं।
II. संभावना है कि कुछ A, B हैं।
III. संभावना है कि कोई A, B नहीं है।

• I: "कुछ A, B नहीं हैं" के सीधे विरुद्ध ✗
• II: कुछ A, B हो सकते हैं (बाकी A, B नहीं हैं) ✓
• III: कोई A, B न हो, यह भी संभव है ✓

उत्तर: II और III सही हैं।

7. सामान्य गलतियाँ जिनसे बचें

1. संभावना और पक्के निष्कर्ष को एक ही तरह जाँचना। पक्के के लिए हर आरेख में सही होना ज़रूरी है, संभावना के लिए सिर्फ़ एक आरेख में।
2. पक्के निष्कर्ष के विरुद्ध की संभावना को सही मान लेना। जैसे "कुछ A, B हैं" पक्का हो तो "कोई A, B नहीं है" की संभावना गलत।
3. "सभी A, B हैं" के बाद "कुछ A, B नहीं हैं" की संभावना को सही मान लेना। यह सीधे विरोध में है।
4. सिर्फ़ एक आरेख बनाकर रुक जाना। कभी-कभी पहला आरेख संभावना को गलत दिखाता है, पर दूसरा आरेख उसे सही कर देता है।
5. वेन आरेख में खाली घेरे बनाना। हर "कुछ" वाले हिस्से में कम से कम एक सदस्य होना चाहिए।
6. तीन कथनों में बीच की कड़ी भूल जाना।
7. अंत में जाँच न करना। आरेख बनने के बाद एक बार सभी कथन फिर से मिला लें।

8. परीक्षा के लिए शॉर्टकट

• संभावना का सीधा परीक्षण: क्या कथन इसके सीधे विरुद्ध हैं? हाँ तो गलत, नहीं तो सही।
• "कुछ + कुछ" में हर संभावना (सभी, कोई नहीं, कुछ नहीं) सही होती है। अपवाद वही जो पक्के निष्कर्ष के विरुद्ध हों।
• "सभी A, B हैं" हो तो "कुछ A, B नहीं हैं" और "कोई A, B नहीं है" की संभावनाएँ गलत।
• "कोई A, B नहीं है" हो तो "कुछ A, B हैं" और "सभी A, B हैं" की संभावनाएँ गलत।
• पक्का निष्कर्ष जो बन चुका हो, उसके विपरीत की संभावना तुरंत गलत।
• शक होने पर दो अलग-अलग वेन आरेख बनाकर देखें।
• एक प्रश्न पर 40-60 सेकंड से ज़्यादा न लगाएँ।

9. अभ्यास प्रश्न

प्र.1 कथन: कुछ A, B हैं। सभी B, C हैं।
निष्कर्ष: I. संभावना है कि सभी A, C हैं। II. संभावना है कि कोई A, C नहीं है। III. संभावना है कि कुछ A, C नहीं हैं।

प्र.2 कथन: सभी A, B हैं। कुछ B, C हैं।
निष्कर्ष: I. संभावना है कि कोई A, C नहीं है। II. संभावना है कि सभी A, C हैं। III. संभावना है कि कुछ B, A नहीं हैं।

प्र.3 कथन: कुछ X, Y हैं। कोई Y, Z नहीं है।
निष्कर्ष: I. संभावना है कि सभी X, Z हैं। II. संभावना है कि कोई X, Z नहीं है। III. संभावना है कि कुछ X, Z हैं।

प्र.4 कथन: कोई A, B नहीं है। सभी B, C हैं।
निष्कर्ष: I. संभावना है कि सभी C, A हैं। II. संभावना है कि कुछ A, C हैं। III. संभावना है कि सभी A, C हैं।

प्र.5 कथन: सभी A, B हैं। सभी B, C हैं।
निष्कर्ष: I. संभावना है कि सभी C, A हैं। II. संभावना है कि कुछ A, C नहीं हैं। III. संभावना है कि कुछ C, B नहीं हैं।

प्र.6 कथन: कुछ A, B हैं। कुछ B, C हैं।
निष्कर्ष: I. संभावना है कि सभी A, C हैं। II. संभावना है कि कोई A, C नहीं है। III. संभावना है कि सभी C, A हैं।

प्र.7 कथन: कोई A, B नहीं है।
निष्कर्ष: I. संभावना है कि कुछ A, B हैं। II. संभावना है कि सभी A, B हैं। III. संभावना है कि कुछ A, B नहीं हैं।

उत्तर और हल

उ.1 पक्का निष्कर्ष: कुछ A, C हैं।
I: सभी A, C हों, यह संभव है ✓। II: "कोई A, C नहीं है", पक्के निष्कर्ष के विरुद्ध ✗। III: A का बाकी हिस्सा C के बाहर हो सकता है ✓।
उत्तर: I और III सही हैं।

उ.2 I: A और C अलग हो सकते हैं (C, B के उस हिस्से को काटे जो A के बाहर है) ✓। II: A पूरी तरह B और C के साझा हिस्से में हो सकता है ✓। III: B, A से बड़ा हो सकता है ✓।
उत्तर: I, II और III तीनों सही हैं।

उ.3 पक्का निष्कर्ष: कुछ X, Z नहीं हैं (जो X, Y हैं वे Z नहीं हैं)।
I: जिन X का Y से संबंध है वे Z नहीं हैं, इसलिए सभी X, Z नहीं हो सकते ✗। II: बाकी X भी Z से बाहर हो सकते हैं ✓। III: बाकी X का हिस्सा Z को काट सकता है ✓।
उत्तर: II और III सही हैं।

उ.4 पक्का निष्कर्ष: कुछ C, A नहीं हैं।
I: B, C के अंदर है और A से अलग है, इसलिए सभी C, A नहीं हो सकते ✗। II: A, C के उस हिस्से को काट सकता है जो B के बाहर है ✓। III: A पूरी तरह C के अंदर, B के बाहर हो सकता है ✓।
उत्तर: II और III सही हैं।

उ.5 पक्का निष्कर्ष: सभी A, C हैं।
I: तीनों के बराबर होने पर ✓। II: पक्के के विरुद्ध ✗। III: C, B से बड़ा हो सकता है ✓।
उत्तर: I और III सही हैं।

उ.6 कुछ + कुछ में कोई पक्का निष्कर्ष नहीं। I: A, C के अंदर आ सकता है, B दोनों को काटे ✓। II: A और C अलग रह सकते हैं और B दोनों को अलग-अलग हिस्सों में काटे ✓। III: C, A के अंदर आ सकता है ✓।
उत्तर: I, II और III तीनों सही हैं।

उ.7 पक्का निष्कर्ष: कुछ A, B नहीं हैं।
I: "कोई A, B नहीं है" के विरुद्ध ✗। II: सभी A, B हों, तो भी "कोई A, B नहीं है" टूटता है ✗। III: यह तो पक्का भी है, इसलिए इसकी संभावना भी सही ✓।
उत्तर: केवल III सही है।

10. सारांश

• संभावना सही तब है जब कम से कम एक वेन आरेख में कथन और निष्कर्ष दोनों सही बैठें।
• संभावना गलत तब है जब कथन उसके सीधे विरुद्ध हों।
• पक्का निष्कर्ष बन चुका हो तो उसके विपरीत की संभावना गलत है।
• कुछ + कुछ में लगभग हर संभावना सही रहती है।
• सभी वाले कथन के साथ "कुछ नहीं" और "कोई नहीं" की संभावनाएँ गलत होती हैं।
• कोई नहीं वाले कथन के साथ "कुछ" और "सभी" की संभावनाएँ गलत होती हैं।
• शक होने पर दो अलग वेन आरेख बनाकर जाँचें।