Venn Diagram Reasoning

वेन आरेख (Venn Diagram): रीज़निंग

पढ़ने का समय: लगभग 10 मिनट

1. परिचय

Venn Diagram में घेरों (वृत्तों) की मदद से अलग-अलग समूहों के आपसी संबंध दिखाए जाते हैं। यह टॉपिक दो रूपों में आता है:

1. संबंध पहचानना: कुछ शब्द दिए जाते हैं (जैसे "बिल्ली, कुत्ता, जानवर") और बताना होता है कि उनके लिए सही आरेख कौन-सा है।
2. संख्या आधारित: समूहों में लोगों की गिनती दी जाती है और सवाल पूछा जाता है कि "केवल चाय पीने वाले कितने हैं?" या "दोनों पसंद करने वाले कितने हैं?"

बैंक (IBPS PO/Clerk, SBI), SSC, रेलवे, RPSC, RSMSSB और पुलिस परीक्षाओं में इससे हर बार 1-4 प्रश्न आते हैं। यही आरेख Syllogism में भी काम आता है।

2. मूल अवधारणा

• एक घेरा = एक समूह।
• घेरे के अंदर घेरा = छोटा समूह बड़े समूह का हिस्सा है।
• दो घेरे एक-दूसरे को काटते हुए = कुछ वस्तुएँ दोनों समूहों में हैं।
• दो अलग-अलग घेरे = दोनों में कोई वस्तु साझा नहीं।

3. संबंधों के मुख्य प्रकार (शब्दों के आधार पर)

संबंध	आरेख का वर्णन	उदाहरण
दोनों समान	एक ही घेरा	डॉक्टर, चिकित्सक
एक दूसरे का हिस्सा	बड़े घेरे के अंदर छोटा घेरा	कुत्ता, जानवर
आंशिक साझा	दो घेरे एक-दूसरे को काटते हैं	डॉक्टर, महिलाएँ
कोई साझा नहीं	दो अलग-अलग घेरे	बिल्ली, मेज़
दो अलग, एक में शामिल	बड़े घेरे के अंदर दो अलग घेरे	बिल्ली, कुत्ता, जानवर
दो काटते हुए, एक में शामिल	बड़े घेरे के अंदर दो काटते हुए घेरे	डॉक्टर, महिलाएँ, मनुष्य
श्रृंखला	घेरे के अंदर घेरा, उसके अंदर और घेरा	बिल्ली का बच्चा, बिल्ली, जानवर
तीन अलग	तीन अलग-अलग घेरे	कलम, किताब, कुर्सी
दो अलग, तीसरे से कटे	दो अलग घेरे, जिन्हें तीसरा घेरा काटता है	लड़के, लड़कियाँ, खिलाड़ी
तीनों आपस में कटे	तीन घेरे एक-दूसरे को काटते हैं	शिक्षक, डॉक्टर, इंजीनियर

4. संबंध पहचानने की विधि

1. हर शब्द का अर्थ सोचें।
2. दो-दो शब्दों की जोड़ियाँ बनाएँ और तय करें कि वे कैसे जुड़ी हैं (हिस्सा, साझा, बिल्कुल अलग)।
3. सबसे बड़े समूह को पहचानें और बाकी को उसके अंदर रखें।
4. एक जैसे स्तर वाले शब्दों के घेरे बराबर रखें।
5. आरेख वही चुनें जिसमें हर जोड़ी का संबंध सही दिखे।

5. संख्या आधारित सूत्र

स्थिति	सूत्र
दो समूह	n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
केवल A	n(A) − n(A ∩ B)
केवल B	n(B) − n(A ∩ B)
दोनों में से कोई नहीं	कुल − n(A ∪ B)
तीन समूह	n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(B ∩ C) − n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
तीन में केवल A	n(A) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
ठीक दो समूहों में (A और B)	n(A ∩ B) − n(A ∩ B ∩ C)

6. हल किए गए उदाहरण (संबंध पहचानना)

उदाहरण 1

बिल्ली, कुत्ता, जानवर

बिल्ली और कुत्ता एक-दूसरे से अलग हैं, पर दोनों जानवर हैं।
आरेख: एक बड़े घेरे (जानवर) के अंदर दो अलग-अलग छोटे घेरे (बिल्ली और कुत्ता)।

उदाहरण 2

लड़के, लड़कियाँ, खिलाड़ी

लड़के और लड़कियाँ आपस में अलग समूह हैं। कुछ लड़के खिलाड़ी हो सकते हैं और कुछ लड़कियाँ भी।
आरेख: दो अलग-अलग घेरे (लड़के और लड़कियाँ), जिन्हें तीसरा घेरा (खिलाड़ी) दोनों को काटता है।

उदाहरण 3

बिल्ली का बच्चा, बिल्ली, जानवर

हर बिल्ली का बच्चा बिल्ली है, और हर बिल्ली जानवर है।
आरेख: तीन घेरे एक-दूसरे के अंदर (सबसे छोटा बिल्ली का बच्चा, बीच में बिल्ली, सबसे बाहर जानवर)।

उदाहरण 4

डॉक्टर, महिलाएँ, मनुष्य

डॉक्टर और महिलाएँ दोनों मनुष्य हैं। कुछ डॉक्टर महिलाएँ हैं, पर सभी नहीं।
आरेख: एक बड़े घेरे (मनुष्य) के अंदर दो घेरे (डॉक्टर और महिलाएँ) जो एक-दूसरे को काटते हैं।

उदाहरण 5

कलम, लेखन सामग्री, मेज़

कलम लेखन सामग्री का हिस्सा है। मेज़ दोनों से बिल्कुल अलग है।
आरेख: एक बड़े घेरे (लेखन सामग्री) के अंदर छोटा घेरा (कलम), और बाहर एक अलग घेरा (मेज़)।

7. हल किए गए उदाहरण (संख्या आधारित)

उदाहरण 6 (दो समूह)

60 विद्यार्थियों की कक्षा में 35 क्रिकेट खेलते हैं, 30 फ़ुटबॉल खेलते हैं और 10 दोनों खेलते हैं। (क) कम से कम एक खेल खेलने वाले कितने हैं? (ख) कोई खेल न खेलने वाले कितने हैं? (ग) केवल क्रिकेट और केवल फ़ुटबॉल खेलने वाले कितने हैं?

(क) n(C ∪ F) = 35 + 30 − 10 = 55
(ख) कोई नहीं = 60 − 55 = 5
(ग) केवल क्रिकेट = 35 − 10 = 25, केवल फ़ुटबॉल = 30 − 10 = 20

जाँच: 25 + 10 + 20 + 5 = 60 ✓

उदाहरण 7 (तीन समूह)

100 लोगों में से 50 चाय, 40 कॉफ़ी और 30 दूध पीते हैं। 15 चाय और कॉफ़ी दोनों, 10 कॉफ़ी और दूध दोनों, और 12 चाय और दूध दोनों पीते हैं। 5 लोग तीनों पीते हैं। (क) केवल चाय पीने वाले कितने हैं? (ख) ठीक दो पेय पीने वाले कितने हैं? (ग) कोई पेय न पीने वाले कितने हैं?

(क) केवल चाय = 50 − 15 − 12 + 5 = 28

(ख) ठीक दो पेय:

• चाय और कॉफ़ी ही: 15 − 5 = 10
• कॉफ़ी और दूध ही: 10 − 5 = 5
• चाय और दूध ही: 12 − 5 = 7

कुल ठीक दो = 10 + 5 + 7 = 22

(ग) कम से कम एक पेय पीने वाले = 50 + 40 + 30 − 15 − 10 − 12 + 5 = 88
कोई नहीं = 100 − 88 = 12

जाँच: केवल कॉफ़ी = 40 − 15 − 10 + 5 = 20, केवल दूध = 30 − 10 − 12 + 5 = 13।
28 + 20 + 13 + 22 + 5 + 12 = 100 ✓

8. सामान्य गलतियाँ जिनसे बचें

1. "कुछ" को "सभी" समझ लेना। आंशिक साझा हो तो घेरे काटते हुए बनेंगे, अंदर-अंदर नहीं।
2. एक ही स्तर के दो शब्दों को एक-दूसरे में रख देना। बिल्ली और कुत्ता अलग-अलग घेरे हैं।
3. सबसे बड़े समूह को पहचानना भूल जाना। पहले सबसे बड़ा समूह ढूँढें।
4. दोनों में शामिल लोगों को दो बार गिन लेना। इसीलिए सूत्र में n(A ∩ B) घटाया जाता है।
5. तीन समूहों के सूत्र में आख़िर में n(A ∩ B ∩ C) जोड़ना भूल जाना।
6. "केवल A" निकालते समय केवल n(A ∩ B) घटाना। तीन समूहों में अन्य साझा हिस्से भी घटाने होते हैं।
7. अंत में जाँच न करना। सभी हिस्सों का जोड़ कुल के बराबर होना चाहिए।

9. परीक्षा के लिए शॉर्टकट

• शब्दों का संबंध दो-दो करके देखें, फिर आरेख चुनें।
• पूरा सेट वही जो सबसे बड़ा हो: मनुष्य, जानवर, पौधे जैसे शब्द आमतौर पर सबसे बाहरी घेरे होते हैं।
• संख्या वाले प्रश्न में सबसे पहले बीच का साझा हिस्सा भरें, फिर बाहर की ओर बढ़ें।
• केवल A = n(A) − n(A ∩ B), यह दो समूहों के लिए सबसे ज़्यादा काम आता है।
• तीन समूहों में पहले तीनों के साझा हिस्से को भरें, फिर दो-दो के साझा हिस्से, फिर केवल एक वाले।
• अंत में सभी हिस्सों का जोड़ कुल से मिलाएँ।
• एक प्रश्न पर 40-60 सेकंड से ज़्यादा न लगाएँ।

10. अभ्यास प्रश्न

प्र.1 घोड़ा, जानवर, पौधा, इनके लिए सही आरेख बताइए।

प्र.2 भाई, बहन, भाई-बहन, इनके लिए सही आरेख बताइए।

प्र.3 शिक्षक, डॉक्टर, इंजीनियर, इनके लिए सही आरेख बताइए।

प्र.4 माँ, महिला, पिता, इनके लिए सही आरेख बताइए।

प्र.5 80 लोगों में से 50 हिंदी बोलते हैं, 45 अंग्रेज़ी बोलते हैं और 20 दोनों बोलते हैं। कोई भाषा न बोलने वाले कितने हैं, और केवल अंग्रेज़ी बोलने वाले कितने हैं?

प्र.6 120 लोगों के सर्वेक्षण में 70 को चाय पसंद है, 60 को कॉफ़ी पसंद है और 30 को दोनों पसंद हैं। ठीक एक पेय पसंद करने वाले कितने हैं, और किसी को भी पसंद न करने वाले कितने हैं?

प्र.7 80 लोगों में से 40 समूह A में, 35 समूह B में और 30 समूह C में हैं। 12 लोग A और B दोनों में, 10 लोग B और C दोनों में, 8 लोग A और C दोनों में हैं। 4 लोग तीनों समूहों में हैं। केवल A में कितने हैं, ठीक दो समूहों में कितने हैं, और किसी भी समूह में न होने वाले कितने हैं?

उत्तर और हल

उ.1 घोड़ा जानवर का हिस्सा है। पौधा दोनों से बिल्कुल अलग है।
आरेख: एक बड़े घेरे (जानवर) के अंदर छोटा घेरा (घोड़ा), और बाहर एक अलग घेरा (पौधा)।

उ.2 भाई और बहन अलग-अलग समूह हैं, और दोनों भाई-बहन हैं।
आरेख: एक बड़े घेरे (भाई-बहन) के अंदर दो अलग-अलग छोटे घेरे (भाई और बहन)।

उ.3 कोई व्यक्ति शिक्षक भी हो सकता है, डॉक्टर भी, इंजीनियर भी। इसलिए तीनों समूहों में साझा सदस्य हो सकते हैं।
आरेख: तीन घेरे, जो एक-दूसरे को काटते हैं।

उ.4 माँ, महिला का हिस्सा है। पिता, महिला और माँ दोनों से बिल्कुल अलग है।
आरेख: एक बड़े घेरे (महिला) के अंदर छोटा घेरा (माँ), और बाहर एक अलग घेरा (पिता)।

उ.5 हिंदी या अंग्रेज़ी बोलने वाले = 50 + 45 − 20 = 75
कोई नहीं = 80 − 75 = 5
केवल अंग्रेज़ी = 45 − 20 = 25

उ.6 केवल चाय = 70 − 30 = 40, केवल कॉफ़ी = 60 − 30 = 30
ठीक एक पेय = 40 + 30 = 70
कम से कम एक पेय = 70 + 60 − 30 = 100, इसलिए किसी को नहीं = 120 − 100 = 20

उ.7 केवल A = 40 − 12 − 8 + 4 = 24
ठीक दो समूहों में: A और B ही = 12 − 4 = 8, B और C ही = 10 − 4 = 6, A और C ही = 8 − 4 = 4। कुल = 8 + 6 + 4 = 18
कम से कम एक समूह में = 40 + 35 + 30 − 12 − 10 − 8 + 4 = 79, इसलिए किसी में नहीं = 80 − 79 = 1

जाँच: केवल B = 35 − 12 − 10 + 4 = 17, केवल C = 30 − 10 − 8 + 4 = 16। 24 + 17 + 16 + 18 + 4 + 1 = 80 ✓

11. सारांश

• शब्दों के संबंध से आरेख चुनें: समान (एक घेरा), हिस्सा (घेरे के अंदर घेरा), आंशिक साझा (काटते हुए), बिल्कुल अलग (अलग घेरे)।
• दो समूहों का सूत्र: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)।
• केवल A = n(A) − n(A ∩ B)।
• कोई नहीं = कुल − n(A ∪ B)।
• तीन समूहों में आख़िर में n(A ∩ B ∩ C) जोड़ें।
• संख्या वाले प्रश्नों में पहले बीच का साझा हिस्सा भरें।
• अंत में सभी हिस्सों का जोड़ कुल से मिलाकर जाँच करें।