Shortest Distance Reasoning

1. परिचय

Direction & Distance रीज़निंग का एक लोकप्रिय टॉपिक है। SSC, बैंक (IBPS/SBI), रेलवे, राजस्थान की परीक्षाओं (RPSC, RSMSSB, पटवारी, पुलिस) और CUET जैसी परीक्षाओं में इससे हर बार 1-3 प्रश्न आते हैं।

इसमें किसी व्यक्ति या वस्तु की यात्रा दी जाती है, जैसे "वह 5 किमी पूर्व गया, फिर बाएँ मुड़ा..."। फिर पूछा जाता है:

• शुरुआती बिंदु से उसकी सबसे छोटी दूरी कितनी है?
• वह शुरुआती बिंदु से किस दिशा में है?

2. मूल अवधारणा: सबसे छोटी दूरी क्या है?

सबसे छोटी दूरी (Shortest Distance / Displacement) शुरुआती बिंदु से अंतिम बिंदु तक की सीधी रेखा की दूरी है। यह चले हुए कुल रास्ते (Total Distance) से अलग होती है।

उदाहरण: कोई 3 किमी पूर्व और फिर 4 किमी उत्तर चला।
कुल चली दूरी = 3 + 4 = 7 किमी
सबसे छोटी दूरी = 5 किमी (सीधी रेखा में)

3. चार मुख्य दिशाएँ और चार उप-दिशाएँ

मुख्य दिशाएँ: उत्तर (N), दक्षिण (S), पूर्व (E), पश्चिम (W)

उप-दिशाएँ:

• उत्तर-पूर्व (NE): उत्तर और पूर्व के बीच
• उत्तर-पश्चिम (NW): उत्तर और पश्चिम के बीच
• दक्षिण-पूर्व (SE): दक्षिण और पूर्व के बीच
• दक्षिण-पश्चिम (SW): दक्षिण और पश्चिम के बीच

याद रखने की ट्रिक: सूर्य पूर्व से उगता है। सुबह सूर्य की ओर मुँह करें तो आपके सामने पूर्व, पीछे पश्चिम, दाएँ दक्षिण और बाएँ उत्तर होगा।

4. मुड़ने (Turn) के नियम

सबसे ज़्यादा गलतियाँ यहीं होती हैं, इसलिए यह तालिका याद कर लें।

अभी मुँह किस दिशा में	बाएँ मुड़ने पर	दाएँ मुड़ने पर
उत्तर	पश्चिम	पूर्व
दक्षिण	पूर्व	पश्चिम
पूर्व	उत्तर	दक्षिण
पश्चिम	दक्षिण	उत्तर

ट्रिक: घड़ी की सुई की दिशा (Clockwise) में चलें तो दाएँ मुड़ना होता है: उत्तर → पूर्व → दक्षिण → पश्चिम → उत्तर। उल्टी दिशा (Anti-clockwise) में चलें तो बाएँ मुड़ना होता है।

5. पाइथागोरस प्रमेय

जब दो दिशाएँ एक-दूसरे से 90° पर हों (जैसे उत्तर और पूर्व), तो समकोण त्रिभुज बनता है:

कर्ण² = आधार² + लंब²

सबसे छोटी दूरी = √(उत्तर-दक्षिण की शुद्ध दूरी² + पूर्व-पश्चिम की शुद्ध दूरी²)

याद रखने योग्य पाइथागोरस त्रिक (Triplets)

आधार	लंब	कर्ण
3	4	5
5	12	13
8	15	17
7	24	25
20	21	29
9	40	41
12	35	37

इनके गुणज (multiples) भी चलते हैं, जैसे 6-8-10, 9-12-15, 12-16-20, 15-20-25, 10-24-26। परीक्षा में गणना का समय बचाने के लिए इन्हें पहचानना सीखें।

6. हल करने की स्टेप-बाय-स्टेप विधि

1. चित्र बनाएँ। शुरुआती बिंदु से एक + (प्लस) का चिह्न बनाकर चारों दिशाएँ लिखें।
2. हर चरण को क्रम से अंकित करें। मुड़ने के नियम का सही प्रयोग करें।
3. विपरीत दिशाओं को घटाएँ। उत्तर-दक्षिण को आपस में और पूर्व-पश्चिम को आपस में घटाएँ।
4. शुद्ध दूरी निकालें। अब बस दो दिशाएँ बचेंगी।
5. पाइथागोरस लगाएँ। कर्ण की गणना करें।
6. दिशा तय करें। दिशा हमेशा शुरुआती बिंदु के सापेक्ष बताई जाती है।

7. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1 (सीधा प्रश्न)

राम 3 किमी पूर्व गया, फिर 4 किमी उत्तर गया। वह शुरुआती बिंदु से कितनी दूर है?

पूर्व = 3 किमी, उत्तर = 4 किमी
दूरी = √(3² + 4²) = √25 = 5 किमी

उदाहरण 2 (विपरीत दिशाएँ कटने वाला)

एक व्यक्ति 10 किमी उत्तर गया, फिर 6 किमी पश्चिम, फिर 2 किमी दक्षिण और फिर 6 किमी पूर्व गया। वह शुरुआती बिंदु से कितनी दूर और किस दिशा में है?

• उत्तर-दक्षिण: 10 − 2 = 8 किमी उत्तर
• पूर्व-पश्चिम: 6 − 6 = 0 (पश्चिम और पूर्व कट गए)

दूरी = 8 किमी, उत्तर दिशा में

उदाहरण 3 (मुड़ने वाला)

मोहन 8 किमी दक्षिण गया, फिर बाएँ मुड़कर 6 किमी चला। वह शुरुआती बिंदु से कितनी दूर है और किस दिशा में?

दक्षिण की ओर मुँह करके बाएँ मुड़ने पर वह पूर्व की ओर चलेगा।
इसलिए: दक्षिण 8 किमी, पूर्व 6 किमी
दूरी = √(8² + 6²) = √100 = 10 किमी
दिशा: शुरुआती बिंदु से वह दक्षिण-पूर्व में है।

उदाहरण 4

सीता 5 किमी पश्चिम गई, फिर दाएँ मुड़कर 12 किमी चली। वह शुरुआती बिंदु से कितनी दूर है और किस दिशा में?

पश्चिम की ओर मुँह करके दाएँ मुड़ने पर वह उत्तर की ओर चलेगी।
इसलिए: पश्चिम 5 किमी, उत्तर 12 किमी
दूरी = √(25 + 144) = √169 = 13 किमी
दिशा: उत्तर-पश्चिम

उदाहरण 5 (बहु-चरण)

एक आदमी 20 मीटर उत्तर चला, फिर दाएँ मुड़कर 12 मीटर चला, फिर दाएँ मुड़कर 4 मीटर चला। वह शुरुआती बिंदु से कितनी दूर और किस दिशा में है?

• उत्तर की ओर 20 मीटर
• दाएँ मुड़ने पर पूर्व की ओर 12 मीटर
• फिर दाएँ मुड़ने पर दक्षिण की ओर 4 मीटर

उत्तर-दक्षिण: 20 − 4 = 16 मीटर उत्तर
पूर्व: 12 मीटर

दूरी = √(16² + 12²) = √(256 + 144) = √400 = 20 मीटर
दिशा: उत्तर-पूर्व

उदाहरण 6

एक लड़का 7 किमी पूर्व गया, फिर 24 किमी उत्तर गया। उसकी शुरुआती बिंदु से दूरी कितनी है?

7-24-25 का त्रिक है, इसलिए उत्तर तुरंत मिल जाता है: 25 किमी

8. दिशा कैसे पहचानें?

दिशा हमेशा शुरुआती बिंदु से अंतिम बिंदु को देखकर बताई जाती है। अंतिम बिंदु जितना उत्तर और पूर्व में है, वह शुरुआती बिंदु के उतना ही उत्तर-पूर्व में माना जाएगा।

सावधानी: कुछ प्रश्नों में पूछा जाता है कि शुरुआती बिंदु अंतिम बिंदु के किस दिशा में है। तब दिशा उलट जाती है। यदि अंतिम बिंदु उत्तर-पूर्व में है, तो शुरुआती बिंदु उसके दक्षिण-पश्चिम में होगा। प्रश्न में "किसके सापेक्ष" ध्यान से पढ़ें।

9. सामान्य गलतियाँ जिनसे बचें

1. बाएँ-दाएँ में भ्रम। मुड़ना हमेशा व्यक्ति के वर्तमान मुँह की दिशा के सापेक्ष होता है।
2. सभी दूरियाँ जोड़ देना। केवल एक ही सीध की दूरियाँ जोड़ी या घटाई जाती हैं।
3. पाइथागोरस भूल जाना। जब दोनों दिशाएँ शून्य न हों, तब कर्ण निकालना ज़रूरी है।
4. चित्र न बनाना। मन में हल करने से गलती की संभावना बढ़ती है।
5. दिशा पूछने पर केवल दूरी बताना। पूरा उत्तर दूरी और दिशा दोनों के साथ दें।
6. इकाइयों को न मिलाना। मीटर और किलोमीटर हों तो पहले एक इकाई में बदलें।

10. परीक्षा के लिए शॉर्टकट

• पहले शुद्ध उत्तर-दक्षिण और शुद्ध पूर्व-पश्चिम निकालें, बाकी सब भूल जाएँ।
• यदि एक दिशा शून्य निकले, तो उत्तर सीधी दिशा में होगा, कोई पाइथागोरस नहीं।
• यदि संख्याएँ 3-4-5 जैसी लगें, तो वर्गमूल निकालने में समय न लगाएँ।
• विकल्पों को देखकर अनुमान लगाएँ। कर्ण हमेशा दोनों भुजाओं में बड़ी भुजा से बड़ा और उनके योग से छोटा होता है।
• अभ्यास के समय हर प्रश्न का चित्र बनाएँ। परीक्षा में गति अपने आप आ जाएगी।

11. अभ्यास प्रश्न

प्र.1 एक व्यक्ति 9 किमी उत्तर गया, फिर 12 किमी पूर्व गया। शुरुआती बिंदु से दूरी कितनी है?

प्र.2 अजय 16 किमी दक्षिण गया, फिर बाएँ मुड़कर 12 किमी चला। वह शुरुआती बिंदु से कितनी दूर है और किस दिशा में?

प्र.3 एक आदमी 25 मीटर पूर्व चला, फिर बाएँ मुड़कर 20 मीटर चला, फिर बाएँ मुड़कर 10 मीटर चला। शुरुआती बिंदु से दूरी और दिशा बताइए।

प्र.4 रिया 8 किमी पश्चिम गई, फिर बाएँ मुड़कर 15 किमी चली। वह शुरुआती बिंदु से कितनी दूर है?

प्र.5 एक व्यक्ति 24 मीटर उत्तर चला, फिर बाएँ मुड़कर 10 मीटर चला। शुरुआती बिंदु से दूरी कितनी है और वह किस दिशा में है?

उत्तर और हल

उ.1 15 किमी (9-12-15)

उ.2 दक्षिण की ओर से बाएँ मुड़ने पर पूर्व। दूरी = √(16² + 12²) = 20 किमी, दक्षिण-पूर्व

उ.3 पूर्व 25 मीटर, बाएँ मुड़ने पर उत्तर 20 मीटर, फिर बाएँ मुड़ने पर पश्चिम 10 मीटर।
पूर्व: 25 − 10 = 15 मीटर, उत्तर: 20 मीटर
दूरी = √(15² + 20²) = 25 मीटर, उत्तर-पूर्व

उ.4 पश्चिम की ओर से बाएँ मुड़ने पर दक्षिण। दूरी = √(8² + 15²) = 17 किमी (8-15-17)

उ.5 उत्तर की ओर से बाएँ मुड़ने पर पश्चिम। दूरी = √(24² + 10²) = 26 मीटर, उत्तर-पश्चिम

12. सारांश

• सबसे छोटी दूरी का अर्थ है शुरू से अंत तक की सीधी रेखा।
• मुड़ने का नियम पक्का करें, खासकर बाएँ और दाएँ।
• एक ही सीध की दूरियाँ जोड़ें या घटाएँ, फिर पाइथागोरस लगाएँ।
• पाइथागोरस त्रिक याद रखें, जैसे 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25।
• दिशा हमेशा शुरुआती बिंदु के सापेक्ष बताएँ, जब तक प्रश्न उल्टा न पूछे।
• हर प्रश्न का चित्र बनाएँ। यही सबसे भरोसेमंद तरीका है।