Linear Arrangement Reasoning: Tricks & Solved Examples

1. परिचय

Linear Arrangement यानी व्यक्तियों को एक सीधी रेखा (पंक्ति) में बैठाना या खड़ा करना। यह Seating Arrangement का सबसे आसान और सबसे ज़्यादा पूछा जाने वाला प्रकार है। बैंक (IBPS/SBI), SSC, रेलवे, RPSC, RSMSSB, पटवारी और पुलिस परीक्षाओं में इससे हर बार 2-5 प्रश्न आते हैं।

इसमें कुछ कथन दिए जाते हैं, जैसे "A बाएँ सिरे पर है" या "B, C के दूसरे दाएँ है"। इन्हें जोड़कर पूरा क्रम निकालना होता है।

2. मूल अवधारणा

पंक्ति में सीटों को बाएँ से दाएँ 1, 2, 3... नंबर दें। हर व्यक्ति की एक निश्चित सीट होती है, और हर कथन किसी न किसी सीट की जानकारी देता है।

मुँह की दिशा का नियम

व्यक्ति का मुँह	व्यक्ति का बायाँ	चित्र में
उत्तर की ओर	पश्चिम	चित्र का बायाँ भाग
दक्षिण की ओर	पूर्व	चित्र का दायाँ भाग

याद रखें: उत्तर की ओर मुँह हो तो चित्र और व्यक्ति के बाएँ-दाएँ एक जैसे हैं। दक्षिण की ओर मुँह हो तो दोनों उलटे हो जाते हैं।

3. महत्वपूर्ण शब्द

शब्द	अर्थ
ठीक दाएँ/बाएँ (Immediate)	बिल्कुल बगल में
दूसरा दाएँ/बाएँ	बीच में एक व्यक्ति छोड़कर
सिरा (Extreme end)	सबसे बाईं या सबसे दाईं सीट
सिरों में से किसी एक पर	सीट 1 या सीट अंतिम, यानी दो संभावनाएँ
के बीच में	दोनों के बीच, दोनों शामिल नहीं
पड़ोसी (Neighbour)	दोनों ओर के बगल वाले
केवल n व्यक्ति बीच में	ठीक n सीटों का अंतर, बाकी कोई नहीं

4. उपयोगी सूत्र

स्थिति	सूत्र
n व्यक्ति, बाएँ से k-वाँ	दाएँ से (n − k + 1)-वाँ
दो व्यक्तियों के बीच	बड़ी सीट − छोटी सीट − 1
k-वें व्यक्ति के बाएँ में	k − 1 व्यक्ति
n व्यक्तियों की कुल व्यवस्थाएँ	n!
दो व्यक्ति हमेशा साथ-साथ	2 × (n − 1)!
दो व्यक्ति दोनों सिरों पर	2 × (n − 2)!

5. हल करने की स्टेप-बाय-स्टेप विधि

1. मुँह की दिशा देखें। दक्षिण की ओर हो तो बाएँ-दाएँ उलटने का ध्यान रखें।
2. कुल सीटों की खाली रेखा बनाएँ और 1, 2, 3... नंबर डालें।
3. पक्के कथन पहले लें, जैसे "सिरे पर", "ठीक बीच में", "बाएँ से तीसरा"।
4. जिस व्यक्ति के बारे में सबसे ज़्यादा कथन हों, उसे पहले बैठाएँ।
5. अगर कोई कथन दो संभावनाएँ दे (जैसे "किसी एक सिरे पर"), तो केस 1 और केस 2 अलग बनाएँ।
6. बाद के कथनों से गलत केस काट दें।
7. अंत में सभी कथनों की जाँच करें और प्रश्नों के उत्तर दें।

6. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1 (सीधा प्रश्न)

छह व्यक्ति A, B, C, D, E, F एक पंक्ति में उत्तर की ओर मुँह करके बैठे हैं। C बाएँ से तीसरा है। F दाएँ सिरे पर है। B, C के ठीक बाएँ है। D, C के दूसरे दाएँ है। A बाएँ सिरे पर है। C और D के बीच में कौन है, और दाएँ से तीसरा कौन है?

सीटें 1 से 6: C = 3, F = 6, B = 2, D = 5, A = 1, बचा E = 4
क्रम: A B C E D F
C और D के बीच में: E
दाएँ से तीसरा (सीट 4): E

उदाहरण 2 (दक्षिण की ओर मुँह)

पाँच व्यक्ति P, Q, R, S, T एक पंक्ति में दक्षिण की ओर मुँह करके बैठे हैं। Q अपने बाएँ सिरे पर है। R, Q के ठीक दाएँ है। S अपने दाएँ सिरे पर है। P, S के दूसरे बाएँ है। चित्र में बाएँ सिरे पर कौन है, और P के पड़ोसी कौन हैं?

व्यक्तियों के अपने बाएँ से दाएँ: Q = 1, R = 2, S = 5, P = 3 (S के दूसरे बाएँ), बचा T = 4
क्रम (व्यक्तियों के हिसाब से): Q R P T S
चित्र में उलटा क्रम होगा: S T P R Q
चित्र के बाएँ सिरे पर: S
P के पड़ोसी: R और T

उदाहरण 3 (केस विधि)

छह व्यक्ति A, B, C, D, E, F एक पंक्ति में उत्तर की ओर मुँह करके बैठे हैं।

1. F किसी एक सिरे पर बैठा है।
2. C बाएँ से तीसरा है।
3. A, C के ठीक दाएँ है।
4. B, C के दूसरे बाएँ है।
5. E, F का पड़ोसी नहीं है।

E और A के बीच में कौन बैठा है, और दाएँ से दूसरा कौन है?

पक्के कथन: C = 3, A = 4, B = 1 (C के दूसरे बाएँ)

केस: कथन 1 के अनुसार F = सीट 1 या सीट 6।
कथन 4 से सीट 1 पर B है, इसलिए F = 6। (केस F = 1 कट गया।)

अब बचे D और E, सीटें 2 और 5 के लिए।
कथन 5: E, F का पड़ोसी नहीं है। सीट 5, F (सीट 6) की पड़ोसी है, इसलिए E = 2, D = 5।

क्रम: B E C A D F
E (सीट 2) और A (सीट 4) के बीच में: C
दाएँ से दूसरा (सीट 5): D

उदाहरण 4 (सात व्यक्ति)

सात व्यक्ति A, B, C, D, E, F, G एक पंक्ति में उत्तर की ओर मुँह करके बैठे हैं।

1. B दाएँ से तीसरा है।
2. B और G के बीच में केवल दो व्यक्ति हैं, और G, B के बाईं ओर है।
3. A, G के ठीक दाएँ है।
4. D किसी एक सिरे पर है।
5. C, D के ठीक बाएँ है।
6. F, A का पड़ोसी नहीं है।

बीच में कौन बैठा है, और B के दूसरे बाएँ कौन है?

सीटें 1 से 7:

• कथन 1: दाएँ से तीसरा = सीट 5, इसलिए B = 5
• कथन 2: G, B के बाईं ओर है और बीच में दो व्यक्ति हैं, इसलिए G = 2
• कथन 3: A, G के ठीक दाएँ, इसलिए A = 3
• कथन 4: बची सीटें 1, 4, 6, 7। D सिरे पर है, यानी सीट 1 या 7।
• कथन 5: C, D के ठीक बाएँ है। D = 1 हो तो C के लिए कोई सीट नहीं बचती, इसलिए D = 7, C = 6
• बचे E और F, सीट 1 और 4 के लिए।
• कथन 6: सीट 4, A (सीट 3) की पड़ोसी है, इसलिए F = 1 और E = 4

क्रम: F G A E B C D
बीच में (सीट 4): E
B (सीट 5) के दूसरे बाएँ (सीट 3): A

उदाहरण 5 (दो पंक्तियाँ)

छह व्यक्ति दो पंक्तियों में बैठे हैं। पहली पंक्ति में P, Q, R दक्षिण की ओर मुँह करके और दूसरी पंक्ति में S, T, U उत्तर की ओर मुँह करके बैठे हैं। दोनों पंक्तियाँ आमने-सामने हैं।

1. Q पहली पंक्ति में बीच में है और U उसके ठीक सामने है।
2. S अपनी पंक्ति में अपने बाएँ सिरे पर है।
3. R, T के ठीक सामने है।

S के सामने कौन है, और Q के ठीक दाएँ कौन है?

चित्र की सीटें 1, 2, 3 (बाएँ से दाएँ):

दूसरी पंक्ति (उत्तर की ओर मुँह): चित्र और व्यक्ति के बाएँ-दाएँ एक जैसे हैं।
U, Q के सामने है, इसलिए U = 2। S अपने बाएँ सिरे पर है, इसलिए S = 1। बचा T = 3।

पहली पंक्ति (दक्षिण की ओर मुँह): Q = 2। R, T (सीट 3) के सामने है, इसलिए R = 3। बचा P = 1।

पंक्ति 1 (चित्र): P Q R
पंक्ति 2 (चित्र): S U T

S (सीट 1) के सामने: P
Q दक्षिण की ओर मुँह करके बैठा है, इसलिए उसका दायाँ चित्र का बायाँ होता है, यानी सीट 1 पर बैठा P।

उदाहरण 6 (बीच के व्यक्ति)

25 व्यक्तियों की पंक्ति में A बाएँ से 8वाँ और B दाएँ से 12वाँ है। उनके बीच कितने व्यक्ति हैं?

B बाएँ से = 25 − 12 + 1 = 14वाँ
बीच में = 14 − 8 − 1 = 5 व्यक्ति

उदाहरण 7 (खिसकना)

20 व्यक्तियों की पंक्ति में P बाएँ से 7वाँ है। वह 5 स्थान दाईं ओर खिसक जाता है। अब दाएँ से उसकी स्थिति क्या है?

नई स्थिति बाएँ से = 7 + 5 = 12वीं
दाएँ से = 20 − 12 + 1 = 9वीं

उदाहरण 8 (व्यवस्थाओं की गिनती)

5 व्यक्ति एक पंक्ति में इस तरह बैठते हैं कि A और B हमेशा साथ-साथ रहें। कुल कितनी व्यवस्थाएँ संभव हैं?

A और B को एक इकाई मानें। तब 4 इकाइयाँ हुईं, जिनके क्रम 4! = 24 हैं।
A और B आपस में 2 तरह से बैठ सकते हैं।
कुल = 2 × 24 = 48

7. सामान्य गलतियाँ जिनसे बचें

1. मुँह की दिशा भूल जाना। दक्षिण की ओर मुँह में बाएँ-दाएँ उलट जाते हैं।
2. दो संभावनाओं वाले कथन से शुरू करना। हमेशा पक्के कथन से शुरू करें।
3. "ठीक" और "दूसरे" में गड़बड़ करना। ठीक = बगल, दूसरा = एक छोड़कर।
4. "के बीच में" में दोनों व्यक्तियों को गिन लेना।
5. केस काटना भूल जाना। हर नया कथन आने पर देखें कि कौन-सा केस अब असंभव है।
6. अंत में जाँच न करना। एक गलत सीट पूरे उत्तर बिगाड़ सकती है।
7. "केवल दो व्यक्ति बीच में" को "कम से कम" समझ लेना।

8. परीक्षा के लिए शॉर्टकट

• सिरे, बीच और "n-वाँ" जैसे कथन सबसे पहले लें।
• जिसके बारे में सबसे ज़्यादा कथन हों, उसे पहले बैठाएँ।
• "सिरे पर" वाला कथन आए तो तुरंत दो केस लिख लें।
• खाली सीटों की रेखा पेंसिल से बनाएँ ताकि मिटाना आसान हो।
• दक्षिण की ओर मुँह में पहले अपने बाएँ-दाएँ को उलट लें, फिर सीट भरें।
• उत्तर देने से पहले सभी कथनों से एक बार मिलान करें।

9. अभ्यास प्रश्न

प्र.1 छह व्यक्ति P, Q, R, S, T, U एक पंक्ति में उत्तर की ओर मुँह करके बैठे हैं। P बाएँ सिरे पर और U दाएँ सिरे पर है। R बाएँ से तीसरा है। S, R के ठीक दाएँ है। Q, P के ठीक दाएँ है। S और U के बीच में कौन है?

प्र.2 पाँच व्यक्ति A, B, C, D, E एक पंक्ति में दक्षिण की ओर मुँह करके बैठे हैं। B अपने बाएँ सिरे पर और E अपने दाएँ सिरे पर है। C, B के ठीक दाएँ है। D, E के ठीक बाएँ है। चित्र में बाएँ सिरे पर कौन है?

प्र.3 छह व्यक्ति A, B, C, D, E, F एक पंक्ति में उत्तर की ओर मुँह करके बैठे हैं। E दाएँ से तीसरा और A बाएँ सिरे पर है। C, A और E के बीच में बैठा है। D, E के ठीक दाएँ है। F दाएँ सिरे पर है। B, E के ठीक बाएँ है। C और E के बीच में कौन है?

प्र.4 30 व्यक्तियों की पंक्ति में A बाएँ से 9वाँ और B दाएँ से 14वाँ है। उनके बीच कितने व्यक्ति हैं?

प्र.5 6 व्यक्ति एक पंक्ति में बैठते हैं और A, B हमेशा साथ-साथ रहते हैं। कुल कितनी व्यवस्थाएँ संभव हैं?

प्र.6 5 व्यक्ति एक पंक्ति में इस तरह बैठते हैं कि A और B दोनों सिरों पर रहें। कुल कितनी व्यवस्थाएँ संभव हैं?

प्र.7 25 व्यक्तियों की पंक्ति में R बाएँ से 10वाँ है। वह 6 स्थान दाईं ओर खिसक जाता है। अब दाएँ से उसकी स्थिति क्या है?

उत्तर और हल

उ.1 P = 1, U = 6, R = 3, S = 4, Q = 2, बचा T = 5
क्रम: P Q R S T U, S और U के बीच में T

उ.2 व्यक्तियों के अपने बाएँ से दाएँ: B = 1, E = 5, C = 2, D = 4, बचा A = 3
क्रम: B C A D E
चित्र में उलटा: E D A C B, इसलिए चित्र के बाएँ सिरे पर E

उ.3 E दाएँ से तीसरा = सीट 4, A = सीट 1, D = सीट 5, F = सीट 6, B = सीट 3 (E के ठीक बाएँ), बचा C = सीट 2
क्रम: A C B E D F
C (सीट 2) और E (सीट 4) के बीच में B

उ.4 B बाएँ से = 30 − 14 + 1 = 17वाँ
बीच में = 17 − 9 − 1 = 7 व्यक्ति

उ.5 A और B को एक इकाई मानें: 5 इकाइयाँ, 5! = 120 क्रम
आपस में 2 तरह: कुल = 2 × 120 = 240

उ.6 A और B के सिरों पर बैठने के 2 तरीके हैं। बीच की 3 सीटों पर बाकी 3 व्यक्ति 3! = 6 तरह से बैठेंगे।
कुल = 2 × 6 = 12

उ.7 नई स्थिति बाएँ से = 10 + 6 = 16वीं
दाएँ से = 25 − 16 + 1 = 10वीं

10. सारांश

• पंक्ति में सीटों को 1, 2, 3... नंबर देकर खाली रेखा बनाएँ।
• उत्तर की ओर मुँह में बाएँ-दाएँ वही रहते हैं, दक्षिण की ओर मुँह में उलट जाते हैं।
• पक्के कथन पहले, दो संभावनाओं वाले कथन बाद में।
• "सिरे पर" जैसे कथन से केस 1 और केस 2 बनाएँ, फिर बाद के कथन से एक को काटें।
• n व्यक्ति, बाएँ से k-वाँ = दाएँ से (n − k + 1)-वाँ
• दो व्यक्ति साथ-साथ: 2 × (n − 1)!, दोनों सिरों पर: 2 × (n − 2)!
• अंत में सभी कथनों की जाँच ज़रूर करें।