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Algebra in Hindi

By NotesMind Published on Nov 09, 2026

1. बीजगणित क्या है?

बीजगणित गणित की वह शाखा है जिसमें अज्ञात संख्याओं को अक्षरों (जैसे x, y, a, b) से दर्शाकर प्रश्न हल किए जाते हैं। अंकगणित में हम “5 + 3” जैसी पक्की संख्याओं से काम करते हैं, जबकि बीजगणित में “x + 3 = 8” जैसे प्रश्नों में x का मान खोजते हैं।

परीक्षाओं में बीजगणित से आमतौर पर इन विषयों पर प्रश्न आते हैं:

सर्वसमिकाओं (identities) पर आधारित प्रश्न
रैखिक समीकरण (एक और दो चर वाले)
द्विघात समीकरण
x + 1/x जैसे प्रश्न
शब्द-समस्याएँ (word problems)

2. ज़रूरी शब्दावली

शब्द	अर्थ	उदाहरण
चर (Variable)	वह अक्षर जिसका मान बदल सकता है या अज्ञात है	x, y
अचर (Constant)	निश्चित संख्या	5, −3
गुणांक (Coefficient)	चर के साथ गुणा हुई संख्या	7x में 7
पद (Term)	जोड़ या घटाव से अलग किया गया भाग	3x² + 2x − 5 में तीन पद हैं
बहुपद (Polynomial)	कई पदों का व्यंजक	x² − 4x + 3
समीकरण (Equation)	बराबर चिह्न (=) वाला कथन	2x + 1 = 9

3. मुख्य सर्वसमिकाएँ (सबसे ज़रूरी भाग)

सर्वसमिका वह समीकरण है जो अक्षरों के हर मान के लिए सही होता है। इन्हें याद कर लेना सबसे बड़ा फ़ायदा देता है।

(क) वर्ग वाली सर्वसमिकाएँ

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
a² − b² = (a + b)(a − b)
(a + b)² − (a − b)² = 4ab
(a + b)² + (a − b)² = 2(a² + b²)

(ख) घन वाली सर्वसमिकाएँ

(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)
(a − b)³ = a³ − b³ − 3ab(a − b)
a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

(ग) तीन चर वाली सर्वसमिकाएँ

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca)

विशेष नियम: यदि a + b + c = 0 हो, तो a³ + b³ + c³ = 3abc

(घ) x + 1/x वाले सूत्र

यदि x + 1/x = k हो, तो:

x² + 1/x² = k² − 2
x³ + 1/x³ = k³ − 3k

यदि x − 1/x = k हो, तो:

x² + 1/x² = k² + 2

4. रैखिक समीकरण

(क) एक चर वाला समीकरण

उदाहरण: 3x + 7 = 22

नियम: जो संख्या एक तरफ जोड़ी गई है, उसे दूसरी तरफ घटाएँ। जो गुणा की गई है, उसे दूसरी तरफ भाग दें। पहले जोड़-घटाव, फिर गुणा-भाग करें।

(ख) दो चर वाले समीकरण

दो अज्ञात हों तो दो समीकरण चाहिए। हल करने के दो आसान तरीके हैं:

प्रतिस्थापन विधि: एक समीकरण से x को y के रूप में लिखें और दूसरे में रख दें।
विलोपन विधि: दोनों समीकरणों को इस तरह गुणा करें कि एक चर के गुणांक बराबर हो जाएँ, फिर जोड़ें या घटाएँ ताकि वह चर हट जाए।

(ग) हल की प्रकृति

समीकरण a₁x + b₁y = c₁ और a₂x + b₂y = c₂ के लिए:

स्थिति	हल
a₁/a₂ ≠ b₁/b₂	एक अद्वितीय हल
a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂	कोई हल नहीं
a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂	अनंत हल

5. द्विघात समीकरण

जिस समीकरण का सबसे बड़ा घात 2 हो, उसे द्विघात समीकरण कहते हैं। इसका सामान्य रूप है: ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)

हल (मूल): x = [−b ± √(b² − 4ac)] ÷ 2a
विविक्तकर (Discriminant): D = b² − 4ac
मूलों का योग = −b ÷ a
मूलों का गुणनफल = c ÷ a

D से मूलों की प्रकृति का पता चलता है:

D का मान	मूलों की प्रकृति
D > 0	दो अलग-अलग वास्तविक मूल
D = 0	दो बराबर वास्तविक मूल
D < 0	कोई वास्तविक मूल नहीं

मूलों से समीकरण बनाना: यदि मूल p और q हों, तो समीकरण है x² − (p + q)x + pq = 0

6. शॉर्टकट ट्रिक्स

ट्रिक 1: सर्वसमिका से बड़े वर्ग निकालना
998² = (1000 − 2)² = 10,00,000 − 4,000 + 4 = 9,96,004

ट्रिक 2: a² − b² से गुणा
103 × 97 = (100 + 3)(100 − 3) = 100² − 3² = 10,000 − 9 = 9,991

ट्रिक 3: जब a + b + c = 0 हो
पूरा लंबा सूत्र लगाने के बजाय सीधे a³ + b³ + c³ = 3abc लिखें।

ट्रिक 4: योग और गुणनफल से काम चलाएँ
यदि a + b और ab दिए हों, तो a और b अलग-अलग निकालने की ज़रूरत नहीं। सीधे सर्वसमिका लगाएँ।

ट्रिक 5: उत्तर विकल्पों में रखकर जाँचें
बहुविकल्पीय प्रश्नों में कई बार विकल्पों के मान समीकरण में रखकर जाँचना सबसे तेज़ होता है।

7. हल उदाहरण (मौलिक अभ्यास प्रश्न)

उदाहरण 1: एक चर वाला समीकरण
हल कीजिए: 3x + 7 = 22

हल:
3x = 22 − 7 = 15
x = 15 ÷ 3 = 5

उदाहरण 2: x + 1/x
यदि x + 1/x = 5 हो, तो x² + 1/x² और x³ + 1/x³ का मान ज्ञात कीजिए।

हल:
x² + 1/x² = 5² − 2 = 25 − 2 = 23
x³ + 1/x³ = 5³ − 3 × 5 = 125 − 15 = 110

उदाहरण 3: योग और गुणनफल दिया हो
यदि a + b = 7 और ab = 10 हो, तो a² + b² और a³ + b³ ज्ञात कीजिए।

हल:
a² + b² = (a + b)² − 2ab = 49 − 20 = 29
a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b) = 343 − 3 × 10 × 7 = 343 − 210 = 133

उदाहरण 4: दो चर वाले समीकरण
हल कीजिए: 2x + 3y = 12 और x − y = 1

हल:
दूसरे समीकरण से x = y + 1
पहले में रखने पर: 2(y + 1) + 3y = 12
2y + 2 + 3y = 12
5y = 10, इसलिए y = 2
x = 2 + 1 = 3

जाँच: 2(3) + 3(2) = 6 + 6 = 12 ✓

उदाहरण 5: द्विघात समीकरण (गुणनखंड से)
हल कीजिए: x² − 5x + 6 = 0

हल:
ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल 6 और योग 5 हो। वे 2 और 3 हैं।
(x − 2)(x − 3) = 0
इसलिए x = 2 या 3

उदाहरण 6: द्विघात समीकरण (सूत्र से)
हल कीजिए: 2x² + 3x − 2 = 0

हल:
a = 2, b = 3, c = −2
D = 3² − 4 × 2 × (−2) = 9 + 16 = 25
x = (−3 ± 5) ÷ 4
x = 2/4 = 1/2 या x = −8/4 = −2

उदाहरण 7: जब a + b + c = 0 हो
यदि a + b + c = 0 हो, तो (a³ + b³ + c³) ÷ abc का मान क्या होगा?

हल:
a + b + c = 0 होने पर a³ + b³ + c³ = 3abc
इसलिए अनुपात = 3abc ÷ abc = 3

उदाहरण 8: मूलों का योग और गुणनफल
समीकरण 3x² − 12x + 5 = 0 के मूलों का योग और गुणनफल बताइए।

हल:
a = 3, b = −12, c = 5
योग = −b ÷ a = 12 ÷ 3 = 4
गुणनफल = c ÷ a = 5/3

उदाहरण 9: शब्द-समस्या
दो संख्याओं का योग 40 और अंतर 10 है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

हल:
बड़ी संख्या = (40 + 10) ÷ 2 = 25
छोटी संख्या = (40 − 10) ÷ 2 = 15

जाँच: 25 + 15 = 40 और 25 − 15 = 10 ✓

8. आम गलतियाँ जिनसे बचें

(a + b)² को a² + b² लिख देना। बीच का पद 2ab छूट जाता है, यह सबसे आम गलती है।
चिह्न की गलती: कोष्ठक खोलते समय ऋण चिह्न सभी पदों पर लगता है। −(x − 3) = −x + 3।
x + 1/x में सीधा घात लगाना: x² + 1/x² का मान k² − 2 होता है, k² नहीं।
द्विघात समीकरण में एक ही मूल लिखना: ± के कारण आमतौर पर दो मूल होते हैं।
दोनों तरफ़ समान क्रिया न करना: समीकरण में जो भी संख्या जोड़ें, घटाएँ, गुणा करें या भाग दें, वह दोनों तरफ़ करना ज़रूरी है।
शून्य से भाग देना: किसी भी चर से दोनों तरफ़ भाग देने से पहले देखें कि वह शून्य तो नहीं हो सकता।

9. परीक्षा के लिए तैयारी टिप्स

सबसे पहले सभी सर्वसमिकाएँ एक पन्ने पर लिखकर रोज़ दोहराएँ।
पहले एक चर वाले समीकरण पक्के करें, फिर दो चर और अंत में द्विघात की ओर जाएँ।
हर हल के बाद उत्तर को मूल समीकरण में रखकर जाँचें।
x + 1/x वाले प्रश्नों के 10 से 15 अलग-अलग उदाहरण हल करें, क्योंकि ये बार-बार आते हैं।
शब्द-समस्या में पहले अज्ञात को अक्षर दें, फिर कथन को समीकरण में बदलें।

10. अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)

प्रश्न 1. (a + b)² का सूत्र क्या है?
(a + b)² = a² + 2ab + b²

प्रश्न 2. a³ + b³ + c³ − 3abc का मान क्या होता है?
यह (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca) के बराबर होता है। यदि a + b + c = 0 हो, तो a³ + b³ + c³ = 3abc।

प्रश्न 3. द्विघात समीकरण का हल निकालने का सूत्र क्या है?
x = [−b ± √(b² − 4ac)] ÷ 2a

प्रश्न 4. द्विघात समीकरण के मूलों का योग और गुणनफल कैसे निकालते हैं?
योग = −b ÷ a और गुणनफल = c ÷ a

प्रश्न 5. यदि x + 1/x = k हो, तो x² + 1/x² क्या होगा?
k² − 2