Triangle

1. त्रिभुज क्या है?

तीन भुजाओं से घिरी बंद आकृति को त्रिभुज कहते हैं। इसके 3 शीर्ष, 3 भुजाएँ और 3 कोण होते हैं। यह ज्यामिति का सबसे ज़्यादा पूछा जाने वाला अध्याय है, इसलिए इसके नियम अच्छी तरह याद करें।

2. त्रिभुज के प्रकार

भुजाओं के आधार पर

प्रकार	विशेषता
समबाहु	तीनों भुजाएँ बराबर, हर कोण 60°
समद्विबाहु	दो भुजाएँ बराबर, उनके सामने के कोण बराबर
विषमबाहु	तीनों भुजाएँ अलग-अलग

कोणों के आधार पर

प्रकार	विशेषता
न्यूनकोण त्रिभुज	तीनों कोण 90° से कम
समकोण त्रिभुज	एक कोण ठीक 90°
अधिक कोण त्रिभुज	एक कोण 90° से अधिक

3. मूल गुण

• तीनों कोणों का योग = 180°
• बाह्य कोण = दो दूरस्थ अंतः कोणों का योग
• किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होता है।
• किन्हीं दो भुजाओं का अंतर तीसरी भुजा से कम होता है।
• बड़ी भुजा के सामने बड़ा कोण होता है।
• त्रिभुज के तीनों बाह्य कोणों का योग (प्रत्येक शीर्ष पर एक) = 360°

भुजाओं से त्रिभुज बनेगा या नहीं: दो छोटी भुजाओं का योग सबसे बड़ी भुजा से अधिक हो, तभी त्रिभुज बनेगा। उदाहरण: (3, 4, 8) से नहीं बनेगा, क्योंकि 3 + 4 = 7 < 8।

4. क्षेत्रफल और परिमाप के सूत्र

त्रिभुज	क्षेत्रफल
कोई भी त्रिभुज	½ × आधार × ऊँचाई
समबाहु (भुजा a)	(√3 ÷ 4) × a²
समद्विबाहु (बराबर भुजा a, आधार b)	(b ÷ 4) × √(4a² − b²)
हेरोन का सूत्र	√[s(s − a)(s − b)(s − c)]
समकोण	½ × लंब × आधार

यहाँ s = (a + b + c) ÷ 2 (अर्द्ध-परिमाप)।

• परिमाप = a + b + c
• समबाहु की ऊँचाई = (√3 ÷ 2) × a
• दो भुजाएँ a, b और उनके बीच का कोण θ हो, तो क्षेत्रफल = ½ × a × b × sin θ

5. पाइथागोरस प्रमेय

समकोण त्रिभुज में: कर्ण² = लंब² + आधार²

प्रमुख पाइथागोरस त्रिक: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25), (20, 21, 29)। इनके गुणज, जैसे (6, 8, 10) और (9, 12, 15), भी त्रिक होते हैं।

जाँच: यदि a² + b² = c² हो, तो त्रिभुज समकोण है। यदि a² + b² < c² हो, तो अधिक कोण और a² + b² > c² हो, तो न्यूनकोण (c सबसे बड़ी भुजा)।

6. त्रिभुज के विशेष बिंदु

बिंदु	कैसे बनता है	विशेषता
केंद्रक (Centroid)	तीनों माध्यिकाओं का कटान	माध्यिका को शीर्ष से 2 : 1 में बाँटता है
अंतःकेंद्र (Incentre)	कोण समद्विभाजकों का कटान	अंतःवृत्त का केंद्र, हमेशा त्रिभुज के अंदर
परिकेंद्र (Circumcentre)	भुजाओं के लंब समद्विभाजकों का कटान	परिवृत्त का केंद्र
लंबकेंद्र (Orthocentre)	शीर्षों से डाले लंबों का कटान	—

याद रखने के नियम:

• समबाहु त्रिभुज में चारों बिंदु एक ही जगह होते हैं।
• समकोण त्रिभुज में लंबकेंद्र समकोण वाले शीर्ष पर और परिकेंद्र कर्ण के मध्य बिंदु पर होता है।
• अधिक कोण त्रिभुज में लंबकेंद्र और परिकेंद्र त्रिभुज के बाहर होते हैं।

माध्यिका और समद्विभाजक के सूत्र

• अपोलोनियस प्रमेय: AB² + AC² = 2(AD² + BD²), जहाँ AD माध्यिका और D भुजा BC का मध्य बिंदु है।
• कोण समद्विभाजक प्रमेय: समद्विभाजक सामने की भुजा को आसन्न भुजाओं के अनुपात में बाँटता है, यानी BD : DC = AB : AC।

7. अंतःत्रिज्या और परित्रिज्या

• अंतःत्रिज्या: r = क्षेत्रफल ÷ s
• परित्रिज्या: R = (abc) ÷ (4 × क्षेत्रफल)
• समकोण त्रिभुज में: r = (आधार + लंब − कर्ण) ÷ 2 और R = कर्ण ÷ 2
• समबाहु त्रिभुज में: r = a ÷ (2√3), R = a ÷ √3, इसलिए R = 2r

8. समरूप त्रिभुज

दो त्रिभुज समरूप तब होते हैं जब उनके संगत कोण बराबर हों और संगत भुजाएँ समानुपाती हों।

समरूपता की शर्तें: AA (दो कोण बराबर), SAS (एक कोण बराबर और उसे घेरने वाली भुजाएँ समानुपाती), SSS (तीनों भुजाएँ समानुपाती)।

यदि समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात m : n हो, तो:

• परिमाप का अनुपात = m : n
• ऊँचाई, माध्यिका, अंतःत्रिज्या का अनुपात = m : n
• क्षेत्रफल का अनुपात = m² : n²

आधारभूत समानुपातिकता (थेल्स) प्रमेय: त्रिभुज ABC में DE ∥ BC हो (D भुजा AB पर और E भुजा AC पर), तो AD ÷ DB = AE ÷ EC।

9. सर्वांगसम त्रिभुज

दो त्रिभुज सर्वांगसम तब होते हैं जब वे हर तरह से बिल्कुल बराबर हों। शर्तें: SSS, SAS, ASA, AAS, RHS (RHS केवल समकोण त्रिभुजों में)।

ध्यान रहे: AAA से केवल समरूपता सिद्ध होती है, सर्वांगसमता नहीं।

10. शॉर्टकट ट्रिक्स

ट्रिक 1: कोणों का अनुपात
कोण 2 : 3 : 4 हो, तो 9 भाग = 180°, 1 भाग = 20°, कोण = 40°, 60°, 80°।

ट्रिक 2: अंतःकेंद्र पर कोण
अंतःकेंद्र O हो, तो ∠BOC = 90° + A/2

ट्रिक 3: लंबकेंद्र पर कोण
लंबकेंद्र O हो, तो ∠BOC = 180° − A

ट्रिक 4: परिकेंद्र पर कोण
परिकेंद्र O हो, तो ∠BOC = 2A

ट्रिक 5: ऊँचाई और कोण समद्विभाजक के बीच कोण
शीर्ष A से ऊँचाई और कोण समद्विभाजक के बीच का कोण = ½ |B − C|

ट्रिक 6: समद्विबाहु समकोण त्रिभुज
बराबर भुजा a हो, तो कर्ण = a√2 और क्षेत्रफल = a² ÷ 2

ट्रिक 7: 30°-60°-90° त्रिभुज
भुजाओं का अनुपात = 1 : √3 : 2

11. हल उदाहरण (मौलिक अभ्यास प्रश्न)

उदाहरण 1: कोणों का अनुपात
त्रिभुज के कोण 3 : 5 : 7 के अनुपात में हैं। सबसे छोटा कोण ज्ञात कीजिए।

हल:
कुल भाग = 15, 1 भाग = 180 ÷ 15 = 12°
सबसे छोटा कोण = 3 × 12 = 36°

---

उदाहरण 2: बाह्य कोण
त्रिभुज में दो अंतः कोण 48° और 67° हैं। तीसरे शीर्ष का बाह्य कोण क्या होगा?

हल:
बाह्य कोण = 48 + 67 = 115°

---

उदाहरण 3: समद्विबाहु त्रिभुज
समद्विबाहु त्रिभुज का शीर्ष कोण 40° है। आधार कोण ज्ञात कीजिए।

हल:
आधार कोण = (180 − 40) ÷ 2 = 70° (प्रत्येक)

---

उदाहरण 4: त्रिभुज बनेगा या नहीं
क्या 5, 7 और 13 सेमी की भुजाओं से त्रिभुज बन सकता है?

हल:
5 + 7 = 12, जो 13 से कम है।
इसलिए त्रिभुज नहीं बनेगा।

---

उदाहरण 5: समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल
भुजा 8 सेमी वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
क्षेत्रफल = (√3 ÷ 4) × 8² = (√3 ÷ 4) × 64 = 16√3 वर्ग सेमी (लगभग 27.71)

---

उदाहरण 6: हेरोन का सूत्र
त्रिभुज की भुजाएँ 17, 25 और 28 सेमी हैं। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
s = (17 + 25 + 28) ÷ 2 = 35
क्षेत्रफल = √[35 × 18 × 10 × 7] = √44100 = 210 वर्ग सेमी

---

उदाहरण 7: पाइथागोरस प्रमेय
समकोण त्रिभुज में कर्ण 25 सेमी और एक भुजा 7 सेमी है। दूसरी भुजा ज्ञात कीजिए।

हल:
यह (7, 24, 25) त्रिक है।
दूसरी भुजा = 24 सेमी

---

उदाहरण 8: समरूप त्रिभुज
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल 36 और 81 वर्ग सेमी हैं। उनकी संगत भुजाओं का अनुपात क्या होगा?

हल:
भुजाओं का अनुपात = √36 : √81 = 6 : 9 = 2 : 3

---

उदाहरण 9: थेल्स प्रमेय
त्रिभुज ABC में DE ∥ BC है। AD = 4 सेमी, DB = 6 सेमी और AE = 5 सेमी हो, तो EC ज्ञात कीजिए।

हल:
AD ÷ DB = AE ÷ EC
4 ÷ 6 = 5 ÷ EC
EC = (5 × 6) ÷ 4 = 7.5 सेमी

---

उदाहरण 10: अंतःकेंद्र पर कोण
त्रिभुज ABC में ∠A = 80° है। अंतःकेंद्र O हो, तो ∠BOC ज्ञात कीजिए।

हल:
∠BOC = 90° + A/2 = 90° + 40° = 130°

---

उदाहरण 11: समकोण त्रिभुज में अंतःत्रिज्या और परित्रिज्या
समकोण त्रिभुज की भुजाएँ 6, 8 और 10 सेमी हैं। r और R ज्ञात कीजिए।

हल:
r = (6 + 8 − 10) ÷ 2 = 2 सेमी
R = 10 ÷ 2 = 5 सेमी

---

उदाहरण 12: केंद्रक
माध्यिका AD की लंबाई 12 सेमी है। केंद्रक G हो, तो AG की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल:
केंद्रक माध्यिका को 2 : 1 में बाँटता है।
AG = (2/3) × 12 = 8 सेमी

12. आम गलतियाँ जिनसे बचें

1. पाइथागोरस को हर त्रिभुज पर लगाना: यह केवल समकोण त्रिभुज पर लागू है।
2. क्षेत्रफल का अनुपात भुजा के अनुपात जैसा लेना: समरूप त्रिभुजों में क्षेत्रफल का अनुपात भुजाओं के अनुपात का वर्ग होता है।
3. AAA को सर्वांगसमता की शर्त मानना: AAA केवल समरूपता देता है।
4. केंद्रक के 2 : 1 अनुपात को उलट देना: शीर्ष की तरफ़ वाला भाग बड़ा (2) होता है।
5. ऊँचाई की जगह भुजा लगा देना: क्षेत्रफल में आधार पर डाली गई लंबवत् ऊँचाई ही आती है।
6. त्रिभुज बनने की शर्त जाँचे बिना हल करना: दो छोटी भुजाओं का योग बड़ी भुजा से अधिक होना चाहिए।

13. परीक्षा के लिए तैयारी टिप्स

• पहले कोणों के नियम और त्रिभुज के प्रकार पक्के करें।
• पाइथागोरस त्रिक और 30°-60°-90° का अनुपात ज़बानी याद रखें।
• विशेष बिंदुओं (अंतःकेंद्र, लंबकेंद्र, परिकेंद्र) वाली ट्रिक्स का रोज़ अभ्यास करें, क्योंकि SSC में ये बार-बार आती हैं।
• हर प्रश्न में पहले साफ़ चित्र बनाएँ।
• रोज़ 5 से 8 प्रश्न समय लगाकर हल करें और उत्तर की जाँच करें।

14. अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)

प्रश्न 1. त्रिभुज के कोणों का योग कितना होता है?
180°।

प्रश्न 2. हेरोन का सूत्र क्या है?
क्षेत्रफल = √[s(s − a)(s − b)(s − c)], जहाँ s = (a + b + c) ÷ 2।

प्रश्न 3. केंद्रक माध्यिका को किस अनुपात में बाँटता है?
शीर्ष से 2 : 1 के अनुपात में।

प्रश्न 4. समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल का अनुपात कैसे निकालते हैं?
संगत भुजाओं के अनुपात का वर्ग लेकर।

प्रश्न 5. समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे निकालते हैं?
क्षेत्रफल = (√3 ÷ 4) × भुजा²।