Circle Formulas

1. वृत्त क्या है?

किसी निश्चित बिंदु से समान दूरी पर स्थित सभी बिंदुओं के समूह को वृत्त कहते हैं। वह निश्चित बिंदु केंद्र कहलाता है और समान दूरी त्रिज्या कहलाती है। वृत्त के प्रश्न SSC और अन्य परीक्षाओं में हर बार आते हैं, इसलिए इसके प्रमेय अच्छी तरह याद करें।

2. ज़रूरी शब्दावली

शब्द	अर्थ
त्रिज्या (Radius)	केंद्र से परिधि तक की दूरी
व्यास (Diameter)	केंद्र से गुज़रने वाली जीवा, व्यास = 2 × त्रिज्या
जीवा (Chord)	वृत्त पर किन्हीं दो बिंदुओं को जोड़ने वाला रेखाखंड
चाप (Arc)	परिधि का कोई भाग
छेदक रेखा (Secant)	वह रेखा जो वृत्त को दो बिंदुओं पर काटे
स्पर्श रेखा (Tangent)	वह रेखा जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर छुए
त्रिज्यखंड (Sector)	दो त्रिज्याओं और चाप से घिरा भाग
वृत्तखंड (Segment)	जीवा और चाप से घिरा भाग

3. मूल सूत्र

• परिधि = 2πr = πd
• क्षेत्रफल = πr²
• अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = ½πr²
• चाप की लंबाई = (θ ÷ 360°) × 2πr
• त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ ÷ 360°) × πr² = ½ × चाप × r
• वलय (दो संकेंद्रित वृत्तों के बीच का क्षेत्र) = π(R² − r²)

π का मान 22/7 या 3.14 लें। जब त्रिज्या 7 का गुणज हो, तो 22/7 लेने से गणना आसान होती है।

4. जीवा के गुण

1. केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
2. केंद्र से जीवा के मध्य बिंदु को मिलाने वाली रेखा जीवा पर लंब होती है।
3. बराबर जीवाएँ केंद्र से बराबर दूरी पर होती हैं (और उलटा भी)।
4. बड़ी जीवा केंद्र के पास होती है। व्यास सबसे बड़ी जीवा है।
5. बराबर जीवाएँ केंद्र पर बराबर कोण बनाती हैं।

जीवा की लंबाई

यदि केंद्र से जीवा की दूरी d और त्रिज्या r हो, तो
जीवा की लंबाई = 2√(r² − d²)

5. कोणों से जुड़े प्रमेय

1. केंद्र पर बना कोण = उसी चाप द्वारा परिधि पर बने कोण का दोगुना।
2. एक ही वृत्तखंड में बने कोण आपस में बराबर होते हैं।
3. अर्धवृत्त में बना कोण = 90°।
4. चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग = 180°, और उसका बाह्य कोण सम्मुख अंतः कोण के बराबर होता है।
5. वैकल्पिक खंड का प्रमेय: स्पर्श रेखा और जीवा के बीच का कोण, उस जीवा द्वारा विपरीत खंड में बने कोण के बराबर होता है।

6. स्पर्श रेखा के गुण

1. स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या स्पर्श रेखा के लंबवत् होती है।
2. बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई दोनों स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है।
3. बाहरी बिंदु से केंद्र की दूरी d हो, तो स्पर्श रेखा की लंबाई = √(d² − r²)
4. बाहरी बिंदु और केंद्र को मिलाने वाली रेखा दोनों स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण को समद्विभाजित करती है।
5. स्पर्श बिंदुओं और केंद्र से बने चतुर्भुज में विपरीत कोणों का योग 180° होता है, इसलिए स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण + केंद्र पर बना कोण = 180°।

7. जीवाओं और छेदक रेखाओं का गुणनफल नियम

स्थिति	सूत्र
दो जीवाएँ वृत्त के अंदर P पर कटें	PA × PB = PC × PD
दो छेदक रेखाएँ बाहर P से खिंचें	PA × PB = PC × PD
स्पर्श रेखा और छेदक रेखा बाहरी बिंदु P से	(PT)² = PA × PB

8. दो वृत्तों के बीच संबंध

दो वृत्तों की त्रिज्याएँ r₁ और r₂ और केंद्रों के बीच की दूरी d हो।

स्थिति	शर्त	उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ
बाहर से अलग-अलग	d > r₁ + r₂	4
बाहर से स्पर्श	d = r₁ + r₂	3
दो बिंदुओं पर कटते हैं		r₁ − r₂
अंदर से स्पर्श	d =	r₁ − r₂
एक वृत्त दूसरे के अंदर	d <	r₁ − r₂

उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की लंबाई

• सीधी (प्रत्यक्ष) उभयनिष्ठ: √[d² − (r₁ − r₂)²]
• अनुप्रस्थ (तिर्यक) उभयनिष्ठ: √[d² − (r₁ + r₂)²]

9. शॉर्टकट ट्रिक्स

ट्रिक 1: त्रिज्या बढ़ने पर क्षेत्रफल
त्रिज्या में x% वृद्धि हो, तो क्षेत्रफल में वृद्धि = (2x + x²/100)%। उदाहरण: त्रिज्या 10% बढ़े, तो क्षेत्रफल 21% बढ़ता है।

ट्रिक 2: पाइथागोरस त्रिक से जीवा
त्रिज्या 13 और केंद्र से दूरी 5 हो, तो आधी जीवा = 12 (त्रिक 5, 12, 13)। जीवा = 24।

ट्रिक 3: स्पर्श रेखा की लंबाई
d = 13 और r = 5 हो, तो स्पर्श रेखा = 12 (वही त्रिक)।

ट्रिक 4: समकोण त्रिभुज की अंतःत्रिज्या
r = (आधार + लंब − कर्ण) ÷ 2

ट्रिक 5: समकोण त्रिभुज की परित्रिज्या
R = कर्ण ÷ 2

ट्रिक 6: बाहरी बिंदु से स्पर्श रेखाओं के बीच कोण
यदि दोनों स्पर्श रेखाओं के बीच कोण θ हो, तो केंद्र पर चाप द्वारा बना कोण = 180° − θ।

ट्रिक 7: वृत्त के बाहर चतुर्भुज की भुजाएँ
यदि चतुर्भुज किसी वृत्त के परिगत (वृत्त उसकी चारों भुजाओं को छुए) हो, तो AB + CD = BC + DA।

10. हल उदाहरण (मौलिक अभ्यास प्रश्न)

उदाहरण 1: परिधि और क्षेत्रफल
वृत्त की त्रिज्या 14 सेमी है। परिधि और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
परिधि = 2 × (22/7) × 14 = 88 सेमी
क्षेत्रफल = (22/7) × 14 × 14 = 616 वर्ग सेमी

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उदाहरण 2: परिधि से त्रिज्या
वृत्त की परिधि 132 सेमी है। उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
2πr = 132, इसलिए r = 132 ÷ (2 × 22/7) = 21 सेमी
क्षेत्रफल = (22/7) × 21 × 21 = 1386 वर्ग सेमी

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उदाहरण 3: चाप की लंबाई
त्रिज्या 21 सेमी वाले वृत्त में 60° के कोण वाले चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल:
चाप = (60/360) × 2 × (22/7) × 21 = (1/6) × 132 = 22 सेमी

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उदाहरण 4: त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
त्रिज्या 7 सेमी और केंद्रीय कोण 90° वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
क्षेत्रफल = (90/360) × (22/7) × 7 × 7 = (1/4) × 154 = 38.5 वर्ग सेमी

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उदाहरण 5: जीवा की लंबाई
वृत्त की त्रिज्या 10 सेमी है। केंद्र से 6 सेमी की दूरी पर स्थित जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल:
आधी जीवा = √(10² − 6²) = √64 = 8
जीवा = 16 सेमी

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उदाहरण 6: स्पर्श रेखा की लंबाई
वृत्त की त्रिज्या 6 सेमी है। केंद्र से 10 सेमी दूर बिंदु से स्पर्श रेखा खींची गई है। उसकी लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल:
लंबाई = √(10² − 6²) = √64 = 8 सेमी

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उदाहरण 7: केंद्र और परिधि का कोण
वृत्त में एक चाप केंद्र पर 130° का कोण बनाता है। उसी चाप द्वारा परिधि पर बना कोण ज्ञात कीजिए।

हल:
परिधि पर कोण = 130 ÷ 2 = 65°

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उदाहरण 8: अर्धवृत्त में कोण
AB वृत्त का व्यास है और C परिधि पर कोई बिंदु है। यदि ∠CAB = 35° हो, तो ∠ABC ज्ञात कीजिए।

हल:
अर्धवृत्त में ∠ACB = 90°
∠ABC = 180 − 90 − 35 = 55°

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उदाहरण 9: चक्रीय चतुर्भुज
चक्रीय चतुर्भुज ABCD में ∠A = 100° है। ∠C और बाह्य कोण (B पर भुजा AB को बढ़ाने से बना कोण नहीं, बल्कि C पर बाह्य कोण) की तुलना कीजिए।

हल:
∠C = 180 − 100 = 80°
C पर बाह्य कोण = 180 − 80 = 100°, जो सम्मुख अंतः कोण ∠A के बराबर है ✓

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उदाहरण 10: जीवाओं का गुणनफल
वृत्त में दो जीवाएँ AB और CD बिंदु P पर कटती हैं। PA = 6, PB = 4 और PC = 3 हो, तो PD ज्ञात कीजिए।

हल:
PA × PB = PC × PD
6 × 4 = 3 × PD
PD = 8

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उदाहरण 11: स्पर्श रेखा-छेदक रेखा
बाहरी बिंदु P से स्पर्श रेखा PT = 12 सेमी है। छेदक रेखा वृत्त को A और B पर काटती है, जहाँ PA = 8 सेमी हो, तो AB ज्ञात कीजिए।

हल:
PT² = PA × PB
144 = 8 × PB, इसलिए PB = 18
AB = PB − PA = 18 − 8 = 10 सेमी

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उदाहरण 12: उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा
दो वृत्तों की त्रिज्याएँ 8 सेमी और 3 सेमी हैं और केंद्रों के बीच दूरी 13 सेमी है। सीधी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल:
लंबाई = √[13² − (8 − 3)²] = √(169 − 25) = √144 = 12 सेमी

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उदाहरण 13: त्रिज्या में वृद्धि
वृत्त की त्रिज्या 20% बढ़ा दी जाए, तो क्षेत्रफल में कितने प्रतिशत वृद्धि होगी?

हल:
वृद्धि = 2(20) + (20²/100) = 40 + 4 = 44%

11. आम गलतियाँ जिनसे बचें

1. त्रिज्या और व्यास में भ्रम: सूत्र लगाने से पहले देखें कि त्रिज्या दी है या व्यास।
2. केंद्र और परिधि का कोण उलट देना: केंद्र का कोण दोगुना, परिधि का आधा।
3. जीवा की लंबाई में आधी जीवा को पूरी मान लेना: √(r² − d²) केवल आधी जीवा देता है, उसे 2 से गुणा करें।
4. चक्रीय चतुर्भुज के नियम को हर चतुर्भुज पर लगाना: सम्मुख कोणों का योग 180° केवल चक्रीय में होता है।
5. सीधी और अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा के सूत्र मिलाना: सीधी में (r₁ − r₂), अनुप्रस्थ में (r₁ + r₂)।
6. छेदक रेखा में PB की जगह AB लगाना: सूत्र में PA × PB में पूरी छेदक रेखा (बाहरी बिंदु से दूर वाले छोर तक) आती है।

12. परीक्षा के लिए तैयारी टिप्स

• पहले परिधि, क्षेत्रफल, चाप और त्रिज्यखंड के सूत्र पक्के करें।
• सभी प्रमेयों की सूची बनाएँ और हर प्रमेय का एक चित्र अपने हाथ से बनाकर याद करें।
• पाइथागोरस त्रिक (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17) याद रखें, ये स्पर्श रेखा और जीवा के प्रश्नों में सेकंडों में काम आते हैं।
• हर प्रश्न में पहले चित्र बनाएँ और केंद्र से त्रिज्याएँ खींचकर सोचें।
• रोज़ 5 से 8 प्रश्न समय लगाकर हल करें और उत्तर की जाँच करें।

13. अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)

प्रश्न 1. वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल का सूत्र क्या है?
परिधि = 2πr और क्षेत्रफल = πr²।

प्रश्न 2. केंद्र पर बने कोण और परिधि पर बने कोण में क्या संबंध है?
केंद्र पर बना कोण, परिधि पर बने कोण का दोगुना होता है।

प्रश्न 3. अर्धवृत्त में बना कोण कितना होता है?
90°।

प्रश्न 4. बाहरी बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई कैसे निकालते हैं?
√(d² − r²), जहाँ d केंद्र से बिंदु की दूरी और r त्रिज्या है।

प्रश्न 5. चक्रीय चतुर्भुज की क्या विशेषता है?
उसके सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।