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Mensuration 3D Formulas

Q: 1. क्षेत्रमिति 3D क्या है?

3D (त्रिविमीय) आकृतियों में लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई तीनों होती हैं, जैसे घन, घनाभ, बेलन, शंकु और गोला। इनके लिए हम तीन चीज़ें निकालते हैं:

By NotesMind Published on Nov 09, 2026

Mensuration 3D Formulas - Rajasthan GK and Computer Notes for Patwari & LDC Exam - NotesMind

1. क्षेत्रमिति 3D क्या है?

3D (त्रिविमीय) आकृतियों में लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई तीनों होती हैं, जैसे घन, घनाभ, बेलन, शंकु और गोला। इनके लिए हम तीन चीज़ें निकालते हैं:

आयतन (Volume): आकृति के अंदर की जगह या उसकी क्षमता। इकाई: घन सेमी, घन मीटर, लीटर।
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA): केवल बगल की (घुमावदार) सतह का क्षेत्रफल।
संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA): सभी सतहों का कुल क्षेत्रफल, यानी ऊपर-नीचे के ढक्कन सहित।

2. इकाई परिवर्तन (ज़रूर याद रखें)

परिवर्तन	मान
1 घन मीटर	10,00,000 घन सेमी
1 लीटर	1000 घन सेमी
1 घन मीटर	1000 लीटर
1 किलोलीटर	1 घन मीटर

सावधानी: आयतन में इकाई घन में बदलती है। 1 मी = 100 सेमी, पर 1 घन मी = (100)³ = 10,00,000 घन सेमी।

3. सभी आकृतियों के सूत्र

आकृति	आयतन	वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA)	संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA)
घन (भुजा a)	a³	4a²	6a²
घनाभ (l, b, h)	l × b × h	2h(l + b)	2(lb + bh + hl)
बेलन (r, h)	πr²h	2πrh	2πr(r + h)
शंकु (r, h, l)	⅓πr²h	πrl	πr(r + l)
गोला (r)	(4/3)πr³	4πr²	4πr²
अर्धगोला (r)	(2/3)πr³	2πr²	3πr²
प्रिज्म	आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई	आधार का परिमाप × ऊँचाई	CSA + 2 × आधार का क्षेत्रफल
पिरामिड	⅓ × आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई	½ × आधार का परिमाप × तिर्यक ऊँचाई	CSA + आधार का क्षेत्रफल

विकर्ण और अन्य सूत्र

घन का विकर्ण = a√3
घनाभ का विकर्ण = √(l² + b² + h²)
शंकु की तिर्यक ऊँचाई: l = √(r² + h²)
खोखले बेलन का आयतन = πh(R² − r²)

छिन्नक (Frustum) के सूत्र

शंकु का छिन्नक, जिसकी ऊपरी त्रिज्या r, निचली त्रिज्या R और ऊँचाई h है:

आयतन = ⅓πh(R² + r² + Rr)
तिर्यक ऊँचाई l = √[h² + (R − r)²]
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = π(R + r)l

4. शॉर्टकट ट्रिक्स

ट्रिक 1: पिघलाकर नई आकृति बनाना
आकृति पिघलाकर नई आकृति बनाने पर आयतन समान रहता है। इसलिए पुरानी आकृतियों का कुल आयतन = नई आकृतियों का कुल आयतन।

ट्रिक 2: आकृतियों की संख्या
संख्या = बड़ी आकृति का आयतन ÷ छोटी आकृति का आयतन

ट्रिक 3: घन की भुजा x% बढ़े
आयतन में वृद्धि = (3x + 3x²/100 + x³/10000)%। भुजा 10% बढ़े, तो आयतन 33.1% बढ़ता है।

ट्रिक 4: गोले की त्रिज्या दोगुनी हो
पृष्ठीय क्षेत्रफल 4 गुना और आयतन 8 गुना हो जाता है। (त्रिज्या n गुनी, तो TSA n² गुना और आयतन n³ गुना।)

ट्रिक 5: शंकु और बेलन का संबंध
समान आधार और समान ऊँचाई हो, तो शंकु का आयतन = बेलन का ⅓।

ट्रिक 6: गोला, बेलन और शंकु का अनुपात
समान त्रिज्या r हो और बेलन-शंकु की ऊँचाई 2r हो, तो आयतनों का अनुपात शंकु : गोला : बेलन = 1 : 2 : 3।

ट्रिक 7: घन के अंदर सबसे बड़ा गोला
घन की भुजा a हो, तो उसके अंदर बने सबसे बड़े गोले की त्रिज्या = a/2।

ट्रिक 8: घन को काटकर छोटे घन बनाना
a भुजा के घन को n भागों में काटकर n³ छोटे घन बनते हैं, प्रत्येक की भुजा a/n होगी।

5. हल उदाहरण (मौलिक अभ्यास प्रश्न)

उदाहरण 1: घन
घन की भुजा 6 सेमी है। आयतन, TSA और विकर्ण ज्ञात कीजिए।

हल:
आयतन = 6³ = 216 घन सेमी
TSA = 6 × 36 = 216 वर्ग सेमी
विकर्ण = 6√3 सेमी

उदाहरण 2: घनाभ
घनाभ की लंबाई 12 मी, चौड़ाई 5 मी और ऊँचाई 4 मी है। आयतन और विकर्ण ज्ञात कीजिए।

हल:
आयतन = 12 × 5 × 4 = 240 घन मी
विकर्ण = √(144 + 25 + 16) = √185 मी

उदाहरण 3: बेलन
बेलन की त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 10 सेमी है। आयतन और CSA ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)

हल:
आयतन = (22/7) × 49 × 10 = 1540 घन सेमी
CSA = 2 × (22/7) × 7 × 10 = 440 वर्ग सेमी

उदाहरण 4: शंकु
शंकु की त्रिज्या 6 सेमी और ऊँचाई 8 सेमी है। तिर्यक ऊँचाई, आयतन और CSA ज्ञात कीजिए। (π = 3.14)

हल:
तिर्यक ऊँचाई l = √(36 + 64) = 10 सेमी
आयतन = ⅓ × 3.14 × 36 × 8 = 301.44 घन सेमी
CSA = 3.14 × 6 × 10 = 188.4 वर्ग सेमी

उदाहरण 5: गोला
गोले की त्रिज्या 21 सेमी है। आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)

हल:
आयतन = (4/3) × (22/7) × 21³ = (4/3) × (22/7) × 9261 = 38808 घन सेमी
पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 × (22/7) × 441 = 5544 वर्ग सेमी

उदाहरण 6: अर्धगोला
अर्धगोले की त्रिज्या 7 सेमी है। TSA ज्ञात कीजिए।

हल:
TSA = 3πr² = 3 × (22/7) × 49 = 462 वर्ग सेमी

उदाहरण 7: पिघलाकर नई आकृति
त्रिज्या 6 सेमी वाले ठोस गोले को पिघलाकर 2 सेमी त्रिज्या वाली कितनी गोलियाँ बनेंगी?

हल:
संख्या = (6³) ÷ (2³) = 216 ÷ 8 = 27 गोलियाँ

उदाहरण 8: धातु का बेलन
त्रिज्या 9 सेमी वाले धातु के गोले को पिघलाकर 6 सेमी त्रिज्या वाला बेलन बनाया गया। बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:
गोले का आयतन = बेलन का आयतन
(4/3)π × 9³ = π × 6² × h
(4/3) × 729 = 36h
972 = 36h
h = 27 सेमी

उदाहरण 9: टंकी की क्षमता
12 मी लंबी, 8 मी चौड़ी और 5 मी गहरी टंकी में कितने लीटर पानी आएगा?

हल:
आयतन = 12 × 8 × 5 = 480 घन मी
1 घन मी = 1000 लीटर
क्षमता = 4,80,000 लीटर

उदाहरण 10: बेलन का रंगाई खर्च
बेलनाकार खंभे की त्रिज्या 14 सेमी और ऊँचाई 2 मी है। केवल बगल की सतह पर 5 रुपये प्रति वर्ग मी की दर से रंग कराने का खर्च ज्ञात कीजिए।

हल:
r = 0.14 मी, h = 2 मी
CSA = 2 × (22/7) × 0.14 × 2 = 1.76 वर्ग मी
खर्च = 1.76 × 5 = 8.80 रुपये

उदाहरण 11: त्रिज्या दोगुनी
गोले की त्रिज्या दोगुनी कर दी जाए, तो उसका आयतन कितने गुना होगा?

हल:
आयतन ∝ r³, इसलिए 2³ = 8 गुना

उदाहरण 12: घन से छोटे घन
8 सेमी भुजा वाले घन को 2 सेमी भुजा वाले कितने छोटे घनों में काटा जा सकता है?

हल:
संख्या = (8/2)³ = 4³ = 64

उदाहरण 13: खोखला बेलन
खोखले बेलन की बाहरी त्रिज्या 8 सेमी, भीतरी त्रिज्या 6 सेमी और ऊँचाई 14 सेमी है। धातु का आयतन ज्ञात कीजिए।

हल:
आयतन = (22/7) × 14 × (64 − 36) = 44 × 28 = 1232 घन सेमी

6. आम गलतियाँ जिनसे बचें

CSA और TSA में भ्रम: CSA में ऊपर-नीचे के ढक्कन नहीं जुड़ते, TSA में जुड़ते हैं।
शंकु में ऊँचाई की जगह तिर्यक ऊँचाई लगाना: आयतन में ऊँचाई h आती है, CSA में तिर्यक ऊँचाई l आती है।
शंकु के आयतन में ⅓ भूल जाना।
त्रिज्या और व्यास में भ्रम: सूत्र लगाने से पहले देखें कि व्यास तो नहीं दिया।
इकाई न मिलाना: घन मी को लीटर में बदलते समय 1000 से गुणा करें, 100 से नहीं।
अर्धगोले के TSA में 2πr² लेना: TSA = 2πr² (वक्र सतह) + πr² (ऊपर का चपटा वृत्त) = 3πr²।