Boats and Streams Formulas

1. नाव एवं धारा क्या है?

नाव एवं धारा "समय, चाल और दूरी" का ही एक विस्तार है। इसमें नदी का पानी बहता रहता है, इसलिए नाव की असली चाल इस पर निर्भर करती है कि वह पानी के बहाव के साथ जा रही है या उसके विरुद्ध।

• बहाव के साथ चलने पर पानी नाव को आगे धकेलता है, इसलिए चाल बढ़ जाती है।
• बहाव के विरुद्ध चलने पर पानी नाव को पीछे खींचता है, इसलिए चाल घट जाती है।

यही पूरे अध्याय का मूल विचार है। एक बार यह समझ आ जाए तो सारे सूत्र अपने आप समझ में आने लगते हैं।

2. ज़रूरी शब्दावली

शब्द	अर्थ	संकेत (इस नोट में)
स्थिर जल में नाव की चाल	शांत पानी में नाव की अपनी चाल	u
धारा की चाल	नदी के पानी के बहने की चाल	v
धारा के अनुकूल (Downstream)	बहाव की दिशा में चलना	D
धारा के प्रतिकूल (Upstream)	बहाव के उलटी दिशा में चलना	U

ध्यान रखें कि परीक्षा में अक्षर बदल सकते हैं, पर अवधारणा वही रहती है। इसलिए अक्षरों को रटने के बजाय अर्थ समझें।

3. इकाई परिवर्तन (पिछले अध्याय से दोहराव)

• km/h से m/s: 5/18 से गुणा करें
• m/s से km/h: 18/5 से गुणा करें
• मिनट को घंटे में बदलने के लिए 60 से भाग दें। उदाहरण: 30 मिनट = 1/2 घंटा।

4. मुख्य सूत्र

(क) अनुकूल और प्रतिकूल चाल

• धारा के अनुकूल चाल: D = u + v
• धारा के प्रतिकूल चाल: U = u − v

(ख) स्थिर जल और धारा की चाल निकालना

यदि D और U दिए हों, तो:

• स्थिर जल में नाव की चाल: u = (D + U) ÷ 2
• धारा की चाल: v = (D − U) ÷ 2

याद रखने का तरीका: u दोनों चालों का औसत है, और v दोनों चालों के अंतर का आधा।

(ग) मूल सूत्र (समय, चाल, दूरी)

• चाल = दूरी ÷ समय
• दूरी = चाल × समय
• समय = दूरी ÷ चाल

इन्हें अनुकूल और प्रतिकूल दोनों दिशाओं पर अलग-अलग लगाया जाता है।

(घ) आना-जाना (Round Trip)

यदि नाव एक जगह से दूसरी जगह जाकर वापस आती है (दूरी d), तो:

• कुल समय = d ÷ (u + v) + d ÷ (u − v) = 2ud ÷ (u² − v²)
• एक तरफ की दूरी = कुल समय × (u² − v²) ÷ 2u

(ङ) औसत चाल (समान दूरी जाना और आना)

औसत चाल = कुल दूरी ÷ कुल समय = 2DU ÷ (D + U)

इसे इस रूप में भी लिख सकते हैं: (u² − v²) ÷ u

सावधानी: औसत चाल कभी भी (D + U) ÷ 2 नहीं होती। यह सबसे आम गलती है, क्योंकि जाने और आने में लगा समय अलग-अलग होता है।

(च) बहती हुई वस्तु

कोई लकड़ी का टुकड़ा, पत्ता या तैरती हुई वस्तु पानी के साथ बहती है, इसलिए उसकी चाल = धारा की चाल (v) होती है।

5. शॉर्टकट ट्रिक्स

ट्रिक 1: समय का अनुपात दिया हो
एक ही दूरी तय करने में, चाल और समय का अनुपात उलटा होता है।
यदि प्रतिकूल दिशा में लगा समय अनुकूल दिशा के समय का n गुना है, तो
u : v = (n + 1) : (n − 1)

उदाहरण: प्रतिकूल समय दोगुना है (n = 2), तो u : v = 3 : 1।

ट्रिक 2: समय दो अलग संख्याओं में दिया हो
यदि एक ही दूरी अनुकूल दिशा में t₁ घंटे में और प्रतिकूल दिशा में t₂ घंटे में तय हो, तो
चालों का अनुपात D : U = t₂ : t₁
फिर u = (D + U) ÷ 2 और v = (D − U) ÷ 2 के हिसाब से भाग निकालें।

ट्रिक 3: चाल को "भागों" में लें
जब अनुपात दिया हो, तो चालों को भाग मानकर लिखें। जैसे D : U = 5 : 3 हो, तो
u = (5 + 3) ÷ 2 = 4 भाग और v = (5 − 3) ÷ 2 = 1 भाग।
यानी u : v = 4 : 1। इससे गणना बहुत तेज़ हो जाती है।

ट्रिक 4: दिशा के अनुसार संकेत

• अनुकूल = जोड़ना (+)
• प्रतिकूल = घटाना (−)

प्रश्न पढ़ते ही पहले यह तय करें कि नाव किस दिशा में जा रही है।

ट्रिक 5: इकाई पहले एक करें
यदि चाल km/h में है, तो दूरी km में और समय घंटे में लें। मिलावट होने पर उत्तर गलत आएगा।

6. हल उदाहरण (मौलिक अभ्यास प्रश्न)

उदाहरण 1: अनुकूल और प्रतिकूल चाल निकालना
स्थिर जल में नाव की चाल 12 km/h और धारा की चाल 3 km/h है। अनुकूल और प्रतिकूल चाल बताइए।

हल:
अनुकूल चाल = 12 + 3 = 15 km/h
प्रतिकूल चाल = 12 − 3 = 9 km/h

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उदाहरण 2: u और v निकालना
एक नाव की धारा के अनुकूल चाल 20 km/h और प्रतिकूल चाल 12 km/h है। स्थिर जल में नाव की चाल और धारा की चाल बताइए।

हल:
u = (20 + 12) ÷ 2 = 16 km/h
v = (20 − 12) ÷ 2 = 4 km/h

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उदाहरण 3: दूरी और समय से चाल
एक नाव धारा के अनुकूल 36 km की दूरी 3 घंटे में और उतनी ही दूरी धारा के प्रतिकूल 4.5 घंटे में तय करती है। नाव की स्थिर जल में चाल ज्ञात कीजिए।

हल:
अनुकूल चाल = 36 ÷ 3 = 12 km/h
प्रतिकूल चाल = 36 ÷ 4.5 = 8 km/h
u = (12 + 8) ÷ 2 = 10 km/h
(धारा की चाल v = (12 − 8) ÷ 2 = 2 km/h)

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उदाहरण 4: आना-जाना और कुल समय
स्थिर जल में नाव की चाल 8 km/h और धारा की चाल 2 km/h है। नाव किसी स्थान तक जाकर वापस आने में कुल 4 घंटे लेती है। वह स्थान कितनी दूर है?

हल:
अनुकूल चाल = 10 km/h, प्रतिकूल चाल = 6 km/h
मान लें दूरी d km है।
d ÷ 10 + d ÷ 6 = 4
(3d + 5d) ÷ 30 = 4
8d = 120
d = 15 km

जाँच: 15 ÷ 10 + 15 ÷ 6 = 1.5 + 2.5 = 4 घंटे ✓

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उदाहरण 5: समय का अनुपात (ट्रिक 1)
एक नाव को किसी दूरी को धारा के विरुद्ध तय करने में धारा के साथ तय करने से दोगुना समय लगता है। यदि धारा की चाल 4 km/h है, तो स्थिर जल में नाव की चाल क्या है?

हल:
n = 2, इसलिए u : v = 3 : 1
v = 4 है, तो u = 3 × 4 = 12 km/h

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उदाहरण 6: औसत चाल
स्थिर जल में नाव की चाल 10 km/h और धारा की चाल 2 km/h है। नाव जाने और आने में बराबर दूरी तय करती है। पूरी यात्रा की औसत चाल क्या होगी?

हल:
D = 12, U = 8
औसत चाल = 2 × 12 × 8 ÷ (12 + 8) = 192 ÷ 20 = 9.6 km/h

जाँच (दूसरे सूत्र से): (10² − 2²) ÷ 10 = 96 ÷ 10 = 9.6 ✓

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उदाहरण 7: अनुपात से भाग (ट्रिक 3)
एक नाव एक ही दूरी धारा के साथ 3 घंटे में और धारा के विरुद्ध 5 घंटे में तय करती है। यदि धारा की चाल 3 km/h है, तो स्थिर जल में नाव की चाल क्या है?

हल:
चालों का अनुपात D : U = 5 : 3 (समय का उलटा)
u = (5 + 3) ÷ 2 = 4 भाग, v = (5 − 3) ÷ 2 = 1 भाग
यानी u : v = 4 : 1
v = 3 है, तो u = 12 km/h

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उदाहरण 8: बहती हुई वस्तु
एक नदी की धारा की चाल 5 km/h है। नदी में बहता हुआ एक लकड़ी का टुकड़ा 2 घंटे में कितनी दूरी तय करेगा?

हल:
टुकड़े की चाल = धारा की चाल = 5 km/h
दूरी = 5 × 2 = 10 km

7. आम गलतियाँ जिनसे बचें

1. औसत चाल को सीधा औसत मान लेना: औसत चाल हमेशा कुल दूरी ÷ कुल समय से निकलती है, (D + U) ÷ 2 से नहीं।
2. दिशा गड़बड़ करना: "धारा के अनुकूल" पर जोड़ें और "प्रतिकूल" पर घटाएँ, इसे उलटना नहीं है।
3. इकाई न बदलना: चाल km/h में और समय मिनट में हो, तो पहले मिनट को घंटे में बदलें।
4. चाल और समय का अनुपात सीधा मान लेना: समान दूरी पर चाल और समय का अनुपात उलटा होता है।
5. v को u से बड़ा मान लेना: प्रश्न में सामान्यतः u > v होता है। यदि v > u हो, तो नाव धारा के विरुद्ध जा ही नहीं सकती।
6. बहती वस्तु की चाल भूल जाना: ऐसी वस्तु की चाल सिर्फ धारा की चाल होती है।

8. परीक्षा के लिए तैयारी टिप्स

• पहले 5 से 6 प्रश्न सिर्फ u और v निकालने के हल करें। यह बुनियाद पक्की करता है।
• फिर आना-जाना और औसत चाल वाले प्रश्न करें, क्योंकि यहीं सबसे ज़्यादा गलतियाँ होती हैं।
• हर प्रश्न को हल करने के बाद "जाँच" करें। इसमें 10 सेकंड लगते हैं, लेकिन अंक बचते हैं।
• सूत्रों को एक छोटी चिट पर लिखकर रोज़ पढ़ें।
• प्रश्नों को अनुपात और भागों की भाषा में सोचने की आदत डालें, इससे गणना छोटी हो जाती है।

9. अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)

प्रश्न 1. धारा के अनुकूल और प्रतिकूल चाल का सूत्र क्या है?
अनुकूल चाल = u + v और प्रतिकूल चाल = u − v, जहाँ u नाव की स्थिर जल में चाल और v धारा की चाल है।

प्रश्न 2. स्थिर जल में नाव की चाल कैसे निकालें?
अनुकूल और प्रतिकूल चाल का औसत लें: u = (D + U) ÷ 2।

प्रश्न 3. धारा की चाल कैसे निकालें?
दोनों चालों के अंतर का आधा लें: v = (D − U) ÷ 2।

प्रश्न 4. जाने और आने की औसत चाल कैसे निकालते हैं?
यदि दूरी बराबर हो, तो औसत चाल = 2DU ÷ (D + U)।

प्रश्न 5. यदि प्रतिकूल दिशा में समय अनुकूल दिशा से n गुना हो, तो u : v क्या होगा?
u : v = (n + 1) : (n − 1)।