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Geometry Formulas

By NotesMind Published on Nov 09, 2026

1. ज्यामिति क्या है?

ज्यामिति गणित की वह शाखा है जिसमें बिंदु, रेखा, कोण, त्रिभुज, चतुर्भुज और वृत्त जैसी आकृतियों के गुणों का अध्ययन किया जाता है। परीक्षाओं में यह भाग आमतौर पर चार हिस्सों से प्रश्न देता है:

रेखाएँ और कोण
त्रिभुज (सबसे ज़्यादा प्रश्न यहीं से)
चतुर्भुज और बहुभुज
वृत्त

2. रेखाएँ और कोण

कोणों के प्रकार

कोण	माप
न्यून कोण	0° से अधिक, 90° से कम
समकोण	ठीक 90°
अधिक कोण	90° से अधिक, 180° से कम
सरल कोण	ठीक 180°
प्रतिवर्ती कोण	180° से अधिक, 360° से कम

मुख्य नियम

पूरक कोण: दो कोणों का योग 90° हो।
संपूरक कोण: दो कोणों का योग 180° हो।
रैखिक युग्म: एक सीधी रेखा पर बने आसन्न कोणों का योग 180° होता है।
शीर्षाभिमुख कोण: दो रेखाओं के कटने पर आमने-सामने के कोण बराबर होते हैं।

समांतर रेखाएँ और तिर्यक रेखा

जब दो समांतर रेखाओं को कोई तिर्यक रेखा काटे, तो:

संगत कोण बराबर होते हैं।
एकांतर कोण बराबर होते हैं।
एक ही ओर के अंतः कोणों का योग 180° होता है।

3. त्रिभुज (सबसे महत्वपूर्ण भाग)

मूल गुण

तीनों कोणों का योग = 180°
बाह्य कोण = दो दूरस्थ अंतः कोणों का योग
किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होता है।
बड़ी भुजा के सामने बड़ा कोण होता है।

त्रिभुज के प्रकार

प्रकार	विशेषता
समबाहु	तीनों भुजाएँ और तीनों कोण (60°) बराबर
समद्विबाहु	दो भुजाएँ बराबर, उनके सामने के कोण बराबर
विषमबाहु	तीनों भुजाएँ अलग
समकोण	एक कोण 90°

क्षेत्रफल के सूत्र

सामान्य त्रिभुज: ½ × आधार × ऊँचाई
समबाहु (भुजा a): (√3 ÷ 4) × a²
हेरोन का सूत्र: √[s(s − a)(s − b)(s − c)], जहाँ s = (a + b + c) ÷ 2

पाइथागोरस प्रमेय

समकोण त्रिभुज में: कर्ण² = लंब² + आधार²

प्रमुख पाइथागोरस त्रिक (याद कर लें): (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25), (20, 21, 29)। इनके गुणज भी त्रिक होते हैं, जैसे (6, 8, 10)।

विशेष बिंदु

बिंदु	कैसे बनता है	विशेषता
केंद्रक (Centroid)	माध्यिकाओं का कटान बिंदु	माध्यिका को 2 : 1 में बाँटता है
अंतःकेंद्र (Incentre)	कोण समद्विभाजकों का कटान	अंतःवृत्त का केंद्र
परिकेंद्र (Circumcentre)	भुजाओं के लंब समद्विभाजकों का कटान	परिवृत्त का केंद्र
लंबकेंद्र (Orthocentre)	शीर्ष से लंबों का कटान	—

विशेष: समबाहु त्रिभुज में चारों बिंदु एक ही स्थान पर होते हैं।

त्रिज्याओं के सूत्र

अंतः त्रिज्या: r = क्षेत्रफल ÷ s
परित्रिज्या: R = (abc) ÷ (4 × क्षेत्रफल)
समकोण त्रिभुज में परित्रिज्या = कर्ण ÷ 2
समबाहु त्रिभुज में: r = a ÷ (2√3) और R = a ÷ √3, अर्थात R = 2r

समरूप त्रिभुज

संगत कोण बराबर और संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।
क्षेत्रफलों का अनुपात = भुजाओं के अनुपात का वर्ग
आधार के समांतर रेखा खींचने पर त्रिभुज के भुजाओं पर बने भाग समानुपाती होते हैं (थेल्स/आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय)।

4. चतुर्भुज

आकृति	मुख्य गुण	क्षेत्रफल
आयत	सम्मुख भुजाएँ बराबर, सभी कोण 90°	लंबाई × चौड़ाई
वर्ग	चारों भुजाएँ बराबर, कोण 90°	भुजा² या ½ × विकर्ण²
समांतर चतुर्भुज	सम्मुख भुजाएँ समांतर और बराबर	आधार × ऊँचाई
समचतुर्भुज	चारों भुजाएँ बराबर, विकर्ण लंबवत् समद्विभाजक	½ × d₁ × d₂
समलंब	एक जोड़ी भुजाएँ समांतर	½ × (समांतर भुजाओं का योग) × ऊँचाई

चतुर्भुज के चारों कोणों का योग = 360°
n भुजाओं वाले बहुभुज के अंतः कोणों का योग = (n − 2) × 180°
सम बहुभुज का प्रत्येक बाह्य कोण = 360° ÷ n

5. वृत्त

मूल सूत्र

परिधि = 2πr
क्षेत्रफल = πr²
चाप की लंबाई = (θ ÷ 360°) × 2πr
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ ÷ 360°) × πr²

महत्वपूर्ण प्रमेय

केंद्र पर बना कोण = उसी चाप द्वारा परिधि पर बने कोण का दोगुना।
अर्धवृत्त में बना कोण = 90°।
एक ही खंड में बने कोण आपस में बराबर होते हैं।
चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।
केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई दोनों स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं।
स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या स्पर्श रेखा के लंबवत् होती है।

जीवाओं और छेदक रेखाओं के सूत्र

दो जीवाएँ अंदर कटें: AP × PB = CP × PD
बाहरी बिंदु से दो छेदक रेखाएँ: PA × PB = PC × PD
स्पर्श रेखा और छेदक रेखा: (स्पर्श रेखा की लंबाई)² = PA × PB

स्पर्श रेखा की लंबाई

बाहरी बिंदु से केंद्र की दूरी d और त्रिज्या r हो, तो स्पर्श रेखा की लंबाई = √(d² − r²)

उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ

दो वृत्तों की त्रिज्याएँ r₁, r₂ और केंद्रों के बीच दूरी d हो, तो:

सीधी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा: √[d² − (r₁ − r₂)²]
अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा: √[d² − (r₁ + r₂)²]

6. शॉर्टकट ट्रिक्स

ट्रिक 1: त्रिभुज के कोणों का अनुपात
कोण 2 : 3 : 4 हो तो कुल 9 भाग = 180°, इसलिए 1 भाग = 20°। कोण 40°, 60°, 80°।

ट्रिक 2: समकोण त्रिभुज में अंतः त्रिज्या
r = (आधार + लंब − कर्ण) ÷ 2

ट्रिक 3: अंतःकेंद्र पर कोण
त्रिभुज ABC में अंतःकेंद्र O हो, तो ∠BOC = 90° + A/2

ट्रिक 4: लंबकेंद्र पर कोण
लंबकेंद्र O हो, तो ∠BOC = 180° − A

ट्रिक 5: पाइथागोरस त्रिक पहचानें
यदि दो भुजाएँ 5 और 12 दी हों, तो तीसरी सीधे 13 लिख दें। गणना बचती है।

ट्रिक 6: वर्ग का विकर्ण
भुजा a हो, तो विकर्ण = a√2

7. हल उदाहरण (मौलिक अभ्यास प्रश्न)

उदाहरण 1: त्रिभुज के कोण
त्रिभुज के कोण 3x, 4x और 5x हैं। सबसे बड़ा कोण ज्ञात कीजिए।

हल:
3x + 4x + 5x = 180°
12x = 180°, x = 15°
सबसे बड़ा कोण = 5 × 15 = 75°

उदाहरण 2: बाह्य कोण
त्रिभुज के दो अंतः कोण 55° और 65° हैं। तीसरे कोण का बाह्य कोण बताइए।

हल:
तीसरा कोण = 180 − 55 − 65 = 60°
बाह्य कोण = 55 + 65 = 120°

उदाहरण 3: पाइथागोरस प्रमेय
समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ 9 सेमी और 12 सेमी हैं। कर्ण ज्ञात कीजिए।

हल:
कर्ण = √(81 + 144) = √225 = 15 सेमी
(यह (3, 4, 5) का तीन गुना है।)

उदाहरण 4: हेरोन का सूत्र
त्रिभुज की भुजाएँ 13, 14 और 15 सेमी हैं। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
s = (13 + 14 + 15) ÷ 2 = 21
क्षेत्रफल = √[21 × 8 × 7 × 6] = √7056 = 84 वर्ग सेमी

उदाहरण 5: अंतः त्रिज्या
उपरोक्त त्रिभुज (13, 14, 15) की अंतः त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

हल:
r = क्षेत्रफल ÷ s = 84 ÷ 21 = 4 सेमी

उदाहरण 6: समरूप त्रिभुज
दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात 2 : 3 है। यदि छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल 40 वर्ग सेमी है, तो बड़े त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या होगा?

हल:
क्षेत्रफलों का अनुपात = 2² : 3² = 4 : 9
4 भाग = 40, तो 1 भाग = 10
बड़े का क्षेत्रफल = 9 × 10 = 90 वर्ग सेमी

उदाहरण 7: अंतःकेंद्र पर कोण
त्रिभुज ABC में ∠A = 70° है। कोण B और C के समद्विभाजक O पर मिलते हैं। ∠BOC ज्ञात कीजिए।

हल:
∠BOC = 90° + A/2 = 90° + 35° = 125°

उदाहरण 8: वृत्त में कोण
वृत्त में एक चाप केंद्र पर 100° का कोण बनाता है। उसी चाप द्वारा परिधि के किसी बिंदु पर बना कोण क्या होगा?

हल:
परिधि पर कोण = केंद्र के कोण का आधा = 100 ÷ 2 = 50°

उदाहरण 9: चक्रीय चतुर्भुज
चक्रीय चतुर्भुज ABCD में ∠A = 85° है। ∠C ज्ञात कीजिए।

हल:
सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।
∠C = 180 − 85 = 95°

उदाहरण 10: स्पर्श रेखा की लंबाई
वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है। केंद्र से 13 सेमी दूर एक बिंदु से स्पर्श रेखा खींची गई है। उसकी लंबाई क्या होगी?

हल:
लंबाई = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12 सेमी

उदाहरण 11: बहुभुज
एक सम बहुभुज का प्रत्येक बाह्य कोण 40° है। उसकी भुजाओं की संख्या बताइए।

हल:
भुजाएँ = 360 ÷ 40 = 9

8. आम गलतियाँ जिनसे बचें

केंद्र और परिधि का कोण उलट देना: केंद्र का कोण दोगुना होता है, परिधि का आधा।
बाह्य कोण को अंतः कोण से जोड़ देना: बाह्य कोण दो दूरस्थ अंतः कोणों के योग के बराबर है।
समकोण त्रिभुज के बिना पाइथागोरस लगाना: यह केवल समकोण त्रिभुज पर लागू है।
समरूप त्रिभुज में क्षेत्रफल का अनुपात भुजा के अनुपात जैसा लेना: क्षेत्रफल का अनुपात भुजा के अनुपात का वर्ग होता है।
त्रिज्या और व्यास में भ्रम: सूत्र लगाने से पहले देखें कि त्रिज्या दी है या व्यास।
सीधी और अनुप्रस्थ स्पर्श रेखा के सूत्र मिलाना: सीधी में (r₁ − r₂) और अनुप्रस्थ में (r₁ + r₂) आता है।

9. परीक्षा के लिए तैयारी टिप्स

पहले त्रिभुज के सूत्र और प्रमेय पक्के करें, क्योंकि सबसे अधिक प्रश्न यहीं से आते हैं।
हर प्रश्न में पहले एक साफ़ चित्र बनाएँ और दिए गए मान उस पर लिखें।
पाइथागोरस त्रिक और विशेष कोण वाली ट्रिक्स को याद रखें।
वृत्त के सात प्रमेयों को एक पन्ने पर लिखकर रोज़ दोहराएँ।
रोज़ 5 से 8 प्रश्न समय लगाकर हल करें।