Age Puzzle Reasoning

1. परिचय

Age Puzzle में अलग-अलग व्यक्तियों की आयु से जुड़े कथन दिए जाते हैं, जैसे "A, B से 4 साल बड़ा है" या "5 साल पहले पिता की आयु पुत्र की आयु की 3 गुनी थी"। इनसे आयु का क्रम या वर्तमान आयु निकालनी होती है। बैंक (IBPS PO/Clerk, SBI), SSC, रेलवे, RPSC, RSMSSB, पटवारी और पुलिस परीक्षाओं में इससे हर बार 1-3 प्रश्न आते हैं।

यह टॉपिक रीज़निंग और गणित का मेल है, इसलिए एक बार सूत्र पक्के हो जाएँ तो ये प्रश्न 30-40 सेकंड में हल हो जाते हैं।

2. आयु पज़ल के प्रकार

प्रकार	उदाहरण
आयु का क्रम (Comparison)	कौन सबसे बड़ा, कौन सबसे छोटा
योग और अंतर	आयु का योग और अंतर देकर आयु निकालना
अनुपात आधारित	आयु का अनुपात और n वर्ष बाद/पहले का अनुपात
n वर्ष पहले/बाद	"5 साल पहले" या "10 साल बाद" वाले कथन
औसत आयु	परिवार या समूह की औसत आयु

3. मूल नियम

1. दो व्यक्तियों की आयु का अंतर हमेशा स्थिर रहता है। 5 साल बाद भी A और B की आयु में वही अंतर रहेगा।
2. n वर्ष बाद हर व्यक्ति की आयु में n जुड़ता है।
3. n वर्ष पहले हर व्यक्ति की आयु में से n घटता है।
4. n वर्ष बाद k व्यक्तियों की आयु के योग में n × k बढ़ता है।
5. अनुपात बदल सकता है, पर अंतर कभी नहीं बदलता।

4. उपयोगी सूत्र

स्थिति	सूत्र
योग और अंतर से दो आयु	बड़ा = (योग + अंतर) ÷ 2, छोटा = (योग − अंतर) ÷ 2
n वर्ष बाद आयु	वर्तमान आयु + n
n वर्ष पहले आयु	वर्तमान आयु − n
औसत आयु	कुल आयु ÷ व्यक्तियों की संख्या
कुल आयु	औसत × संख्या
नया सदस्य जुड़ने पर उसकी आयु	नई कुल आयु − पुरानी कुल आयु
वर्तमान अनुपात a : b, n वर्ष बाद c : d	(ax + n) ÷ (bx + n) = c ÷ d

5. हल करने की स्टेप-बाय-स्टेप विधि

1. वर्तमान आयु को अक्षर से मानें (जैसे A की आयु a, B की आयु b या अनुपात में 3x, 5x)।
2. हर कथन को समीकरण में बदलें। "5 साल पहले" हो तो आयु में से 5 घटाएँ, "10 साल बाद" हो तो 10 जोड़ें।
3. आयु का क्रम पूछा हो तो सभी कथनों को एक रेखा में जोड़ें (> या <)।
4. दो समीकरण बनें तो घटाकर या प्रतिस्थापन से हल करें।
5. उत्तर की जाँच करें: मान को वापस कथनों में रखकर देखें।

6. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1 (आयु का क्रम और अंतर)

पाँच मित्रों A, B, C, D, E की आयु के बारे में:

1. A, B से 4 साल बड़ा है।
2. B, C से 2 साल बड़ा है।
3. D, C से 3 साल छोटा है।
4. E, A से 5 साल बड़ा है।

सबसे छोटा कौन है, तीसरा सबसे बड़ा कौन है, और E, D से कितने साल बड़ा है?

माना C की आयु x वर्ष है।

• B = x + 2
• A = B + 4 = x + 6
• E = A + 5 = x + 11
• D = x − 3

क्रम (बड़े से छोटे): E > A > B > C > D

• सबसे छोटा: D
• तीसरा सबसे बड़ा: B
• E − D = (x + 11) − (x − 3) = 14 साल

उदाहरण 2 (योग और अंतर)

पिता और पुत्र की आयु का योग 50 वर्ष है। पिता की आयु पुत्र से 30 वर्ष अधिक है। दोनों की आयु क्या है?

पुत्र = (50 − 30) ÷ 2 = 10 वर्ष
पिता = (50 + 30) ÷ 2 = 40 वर्ष

जाँच: 10 + 40 = 50 ✓ और 40 − 10 = 30 ✓

उदाहरण 3 (अनुपात और n वर्ष बाद)

A और B की वर्तमान आयु का अनुपात 3 : 5 है। 10 वर्ष बाद यह अनुपात 2 : 3 हो जाएगा। उनकी वर्तमान आयु क्या है?

माना A = 3x और B = 5x।
10 वर्ष बाद: (3x + 10) ÷ (5x + 10) = 2 ÷ 3
3(3x + 10) = 2(5x + 10)
9x + 30 = 10x + 20
x = 10

A = 3 × 10 = 30 वर्ष, B = 5 × 10 = 50 वर्ष

जाँच: 10 वर्ष बाद 40 और 60, यानी 2 : 3 ✓

उदाहरण 4 (पहले और बाद दोनों)

5 वर्ष पहले A की आयु B की आयु की 3 गुनी थी। 10 वर्ष बाद A की आयु B की आयु की 2 गुनी हो जाएगी। उनकी वर्तमान आयु क्या है?

माना A = a और B = b।

• 5 वर्ष पहले: a − 5 = 3(b − 5), यानी a = 3b − 10
• 10 वर्ष बाद: a + 10 = 2(b + 10), यानी a = 2b + 10

दोनों को बराबर करें: 3b − 10 = 2b + 10, इसलिए b = 20
a = 2 × 20 + 10 = 50

A = 50 वर्ष, B = 20 वर्ष

जाँच: 5 वर्ष पहले 45 और 15 (3 गुना ✓), 10 वर्ष बाद 60 और 30 (2 गुना ✓)

उदाहरण 5 (औसत आयु)

4 व्यक्तियों की औसत आयु 30 वर्ष है। एक पाँचवाँ व्यक्ति जुड़ता है और औसत आयु 32 वर्ष हो जाती है। पाँचवें व्यक्ति की आयु क्या है?

पहले कुल आयु = 4 × 30 = 120
बाद में कुल आयु = 5 × 32 = 160
पाँचवें की आयु = 160 − 120 = 40 वर्ष

उदाहरण 6 (गुना वाला प्रश्न)

पिता की आयु पुत्र की आयु की 4 गुनी है। 5 वर्ष बाद पिता की आयु पुत्र की आयु की 3 गुनी हो जाएगी। वर्तमान आयु क्या है?

माना पुत्र = s, तो पिता = 4s।
5 वर्ष बाद: 4s + 5 = 3(s + 5)
4s + 5 = 3s + 15
s = 10

पुत्र = 10 वर्ष, पिता = 40 वर्ष

जाँच: 5 वर्ष बाद 45 और 15, यानी 3 गुना ✓

उदाहरण 7 (पहले का अनुपात और वर्तमान योग)

A और B की वर्तमान आयु का योग 56 वर्ष है। 4 वर्ष पहले उनकी आयु का अनुपात 3 : 5 था। उनकी वर्तमान आयु क्या है?

4 वर्ष पहले का योग = 56 − (4 + 4) = 48 वर्ष
अनुपात का कुल भाग = 3 + 5 = 8, इसलिए 1 भाग = 48 ÷ 8 = 6
4 वर्ष पहले: A = 18, B = 30

वर्तमान आयु: A = 18 + 4 = 22 वर्ष, B = 30 + 4 = 34 वर्ष

जाँच: 22 + 34 = 56 ✓

7. सामान्य गलतियाँ जिनसे बचें

1. "पहले" पर जोड़ देना और "बाद" पर घटा देना। पहले = घटाएँ, बाद = जोड़ें।
2. n वर्ष बाद अनुपात को स्थिर मान लेना। अनुपात बदलता है, अंतर स्थिर रहता है।
3. योग में n × k का ध्यान न रखना। दो व्यक्तियों की आयु का योग n वर्ष बाद 2n बढ़ता है।
4. पहले और बाद के अनुपात में 'x' को अलग-अलग मान लेना। x एक ही रहता है।
5. औसत में व्यक्तियों की संख्या बदलना भूल जाना। कोई जुड़े या जाए तो संख्या भी बदलती है।
6. वर्तमान आयु और पहले/बाद की आयु को आपस में मिला देना।
7. उत्तर की जाँच न करना। मान को वापस कथनों में रखकर एक बार देखें।

8. परीक्षा के लिए शॉर्टकट

• आयु का अंतर कभी नहीं बदलता। इसी से कई प्रश्न सीधे हल हो जाते हैं।
• योग और अंतर दिए हों तो: बड़ा = (योग + अंतर) ÷ 2।
• अनुपात वाले प्रश्न में 3x, 5x जैसा मानें और एक ही समीकरण बनाएँ।
• n वर्ष पहले/बाद का योग: वर्तमान योग ± (n × व्यक्तियों की संख्या)।
• आयु का क्रम पूछा हो तो सभी कथनों को एक रेखा में जोड़ें और सबसे छोटे को x मानकर बाकी निकालें।
• विकल्पों में रखकर जाँच करना अक्सर सबसे तेज़ तरीका होता है।
• एक प्रश्न पर 40 सेकंड से ज़्यादा न लगाएँ।

9. अभ्यास प्रश्न

प्र.1 छह व्यक्तियों P, Q, R, S, T, U की आयु के बारे में: P, Q से बड़ा है पर R से छोटा है। S, Q से छोटा है। T, R से बड़ा है। U सबसे बड़ा है। तीसरा सबसे बड़ा कौन है, और सबसे छोटा कौन है?

प्र.2 माँ और बेटी की आयु का योग 56 वर्ष है। माँ बेटी से 28 वर्ष बड़ी है। दोनों की आयु क्या है?

प्र.3 A और B की वर्तमान आयु का अनुपात 4 : 7 है। 8 वर्ष बाद यह अनुपात 5 : 8 हो जाएगा। उनकी वर्तमान आयु क्या है?

प्र.4 6 वर्ष पहले पिता की आयु पुत्र की आयु की 5 गुनी थी। 4 वर्ष बाद पिता की आयु पुत्र की आयु की 3 गुनी हो जाएगी। वर्तमान आयु क्या है?

प्र.5 6 व्यक्तियों की औसत आयु 25 वर्ष है। एक व्यक्ति चला जाता है और औसत आयु 23 वर्ष हो जाती है। जाने वाले व्यक्ति की आयु क्या थी?

प्र.6 A की आयु B की आयु की दोगुनी है। 12 वर्ष पहले A की आयु B की आयु की 4 गुनी थी। वर्तमान आयु क्या है?

प्र.7 A, B से 6 वर्ष बड़ा है। C, B से 4 वर्ष छोटा है। D, A से 2 वर्ष बड़ा है। सबसे बड़ा कौन है, सबसे छोटा कौन है, और D, C से कितने वर्ष बड़ा है?

उत्तर और हल

उ.1 कथनों से: U > T > R > P > Q > S
तीसरा सबसे बड़ा: R, सबसे छोटा: S

उ.2 बेटी = (56 − 28) ÷ 2 = 14 वर्ष
माँ = (56 + 28) ÷ 2 = 42 वर्ष

उ.3 माना A = 4x और B = 7x।
(4x + 8) ÷ (7x + 8) = 5 ÷ 8
8(4x + 8) = 5(7x + 8)
32x + 64 = 35x + 40
3x = 24, x = 8
A = 32 वर्ष, B = 56 वर्ष
जाँच: 8 वर्ष बाद 40 और 64, यानी 5 : 8 ✓

उ.4 माना पिता = f और पुत्र = s।

• 6 वर्ष पहले: f − 6 = 5(s − 6), यानी f = 5s − 24
• 4 वर्ष बाद: f + 4 = 3(s + 4), यानी f = 3s + 8

5s − 24 = 3s + 8, इसलिए s = 16
f = 3 × 16 + 8 = 56

पिता = 56 वर्ष, पुत्र = 16 वर्ष
जाँच: 6 वर्ष पहले 50 और 10 (5 गुना ✓), 4 वर्ष बाद 60 और 20 (3 गुना ✓)

उ.5 पहले कुल आयु = 6 × 25 = 150
बाद में कुल आयु = 5 × 23 = 115
जाने वाले की आयु = 150 − 115 = 35 वर्ष

उ.6 माना B = b, तो A = 2b।
12 वर्ष पहले: 2b − 12 = 4(b − 12)
2b − 12 = 4b − 48
36 = 2b, इसलिए b = 18

B = 18 वर्ष, A = 36 वर्ष
जाँच: 12 वर्ष पहले 24 और 6, यानी 4 गुना ✓

उ.7 माना B = x।
A = x + 6, C = x − 4, D = A + 2 = x + 8
क्रम: D > A > B > C
सबसे बड़ा: D, सबसे छोटा: C
D − C = (x + 8) − (x − 4) = 12 वर्ष

10. सारांश

• दो व्यक्तियों की आयु का अंतर कभी नहीं बदलता।
• n वर्ष बाद = आयु + n, n वर्ष पहले = आयु − n।
• योग और अंतर दिए हों: बड़ा = (योग + अंतर) ÷ 2।
• अनुपात वाले प्रश्न में 3x, 5x जैसा मानें और n वर्ष का अंतर समीकरण में लगाएँ।
• औसत वाले प्रश्न में कुल आयु = औसत × संख्या।
• आयु का क्रम पूछा हो तो सभी कथनों को एक रेखा में जोड़ें।
• उत्तर की जाँच हमेशा कथनों में मान रखकर करें।