Distribution Puzzle Reasoning

1. परिचय

Distribution Puzzle में कुछ वस्तुओं (चॉकलेट, पुस्तकें, फल, रुपये आदि) को कुछ व्यक्तियों में बाँटा जाता है। कथनों से यह पता लगाना होता है कि किसे कितना मिला या किसे कौन-सी वस्तु मिली। बैंक (IBPS PO/Clerk, SBI), SSC, रेलवे, RPSC, RSMSSB और पुलिस परीक्षाओं में Puzzle के भाग के रूप में यह अक्सर पूछा जाता है।

इसमें तर्क और सरल गणित दोनों का मेल होता है। समीकरण बनाना और सारणी से विकल्प काटना, यही दो मुख्य औज़ार हैं।

2. Distribution Puzzle के प्रकार

प्रकार	क्या होता है
मात्रा का वितरण	5 व्यक्तियों में 50 चॉकलेट, तुलना वाले कथन
वस्तु-व्यक्ति मिलान	4 उपहार 4 व्यक्तियों में, एक-एक
अनुपात/भिन्न आधारित	रुपये 2 : 3 : 4 में बाँटना
न्यूनतम/अधिकतम वितरण	"कम से कम 2 मिलें तो अधिकतम कितनी मिल सकती हैं?"
बराबर वितरण और शेष	47 पेन 6 बच्चों में बराबर बाँटने पर कितने बचेंगे

3. मूल अवधारणा

• कुल योग हमेशा सभी व्यक्तियों के हिस्सों के जोड़ के बराबर होता है।
• एक वस्तु एक ही व्यक्ति को मिलती है (जब तक प्रश्न अन्यथा न कहे)।
• बराबर वितरण में हर व्यक्ति को समान मिलता है और शेष बच सकता है।
• अनुपात में पूरा योग अनुपात के भागों के योग में बँटता है।

4. उपयोगी सूत्र

स्थिति	सूत्र
औसत	कुल ÷ व्यक्तियों की संख्या
अनुपात a : b : c में बँटवारा	1 भाग = कुल ÷ (a + b + c)
बराबर वितरण	प्रत्येक को = कुल ÷ व्यक्ति (भागफल), शेष = बचा हुआ
किसी एक को अधिकतम (सबको कम से कम m)	कुल − (व्यक्ति − 1) × m
सब अलग-अलग संख्या, सबसे बड़े का न्यूनतम मान d	d + (d − 1) + (d − 2) + ... ≥ कुल
भिन्न वाला बँटवारा	पहले हिस्से के बाद शेष पर अगला भिन्न लगाएँ

5. हल करने की स्टेप-बाय-स्टेप विधि

1. एक व्यक्ति के हिस्से को अक्षर से मानें (जैसे B का हिस्सा b), जिससे बाकी सब निकल सकें।
2. हर कथन को समीकरण में बदलें, जैसे "A को B से 4 अधिक" = A = b + 4।
3. कुल योग का समीकरण बनाएँ और b निकालें।
4. वस्तु-व्यक्ति मिलान में ✓/✗ सारणी बनाएँ और जहाँ एक ही विकल्प बचे उसे पक्का करें।
5. मान को वापस कथनों में रखकर जाँच करें।

6. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1 (मात्रा का वितरण)

पाँच व्यक्तियों A, B, C, D, E में कुल 50 चॉकलेट बाँटी गईं।

1. E को ठीक औसत संख्या में चॉकलेट मिलीं।
2. A को B से 4 अधिक मिलीं।
3. C को A से 3 अधिक मिलीं।
4. D को B से 3 कम मिलीं।

सबसे अधिक चॉकलेट किसे मिलीं, सबसे अधिक और सबसे कम का अंतर क्या है, और A और D को मिलाकर कितनी मिलीं?

• औसत = 50 ÷ 5 = 10, इसलिए E = 10
• माना B = b। तब A = b + 4, C = A + 3 = b + 7, D = b − 3।

कुल: (b + 4) + b + (b + 7) + (b − 3) + 10 = 50
4b + 18 = 50
4b = 32, इसलिए b = 8

व्यक्ति	चॉकलेट
A	12
B	8
C	15
D	5
E	10

जाँच: 12 + 8 + 15 + 5 + 10 = 50 ✓

• सबसे अधिक: C (15)
• सबसे अधिक और सबसे कम का अंतर = 15 − 5 = 10
• A + D = 12 + 5 = 17

उदाहरण 2 (वस्तु-व्यक्ति मिलान)

चार व्यक्तियों P, Q, R, S को एक-एक उपहार दिया गया: पुस्तक, कलम, घड़ी और टोपी (क्रम अज्ञात)।

1. P को न पुस्तक मिली, न कलम।
2. Q को न घड़ी मिली, न टोपी।
3. R को न घड़ी मिली, न पुस्तक।
4. S को न घड़ी मिली, न टोपी।
5. S को पुस्तक नहीं मिली।

किसे घड़ी मिली, R को क्या मिला, और Q को क्या मिला?

हर व्यक्ति के संभावित उपहार (✓ बचे विकल्प):

व्यक्ति	पुस्तक	कलम	घड़ी	टोपी
P	✗	✗	✓	✓
Q	✓	✓	✗	✗
R	✗	✓	✗	✓
S	✓	✓	✗	✗

• घड़ी का विकल्प केवल P के पास है, इसलिए P = घड़ी।
• टोपी अब केवल R के पास संभव है, क्योंकि Q और S के लिए ✗ है और P के पास घड़ी है। इसलिए R = टोपी।
• Q और S के पास पुस्तक और कलम बचे हैं। कथन 5: S को पुस्तक नहीं मिली, इसलिए S = कलम और Q = पुस्तक।

व्यक्ति	उपहार
P	घड़ी
Q	पुस्तक
R	टोपी
S	कलम

घड़ी: P, R को: टोपी, Q को: पुस्तक

उदाहरण 3 (अनुपात आधारित)

720 रुपये A, B और C में 2 : 3 : 4 के अनुपात में बाँटे गए। (क) हर एक को कितने रुपये मिले? (ख) C को A से कितने रुपये अधिक मिले?

कुल भाग = 2 + 3 + 4 = 9
1 भाग = 720 ÷ 9 = 80 रुपये

(क) A = 2 × 80 = 160 रुपये, B = 3 × 80 = 240 रुपये, C = 4 × 80 = 320 रुपये

(ख) C − A = 2 भाग = 2 × 80 = 160 रुपये

जाँच: 160 + 240 + 320 = 720 ✓

उदाहरण 4 (न्यूनतम/अधिकतम)

(क) 20 चॉकलेट 4 बच्चों में इस तरह बाँटनी हैं कि हर बच्चे को कम से कम 2 मिलें। एक बच्चे को अधिकतम कितनी मिल सकती हैं? (ख) 20 चॉकलेट 4 बच्चों में इस तरह बाँटनी हैं कि सबको अलग-अलग संख्या में और कम से कम 1 मिलें। सबसे अधिक पाने वाले बच्चे को कम से कम कितनी मिलेंगी?

(क) बाकी 3 बच्चों को न्यूनतम 2-2 देने पर 3 × 2 = 6 चॉकलेट लगीं।
अधिकतम = 20 − 6 = 14 चॉकलेट

(ख) माना सबसे अधिक पाने वाले को d चॉकलेट मिलीं। अधिकतम कुल तब होगा जब बाकी भी जितनी संभव हों उतनी हों: d + (d − 1) + (d − 2) + (d − 3)।
हमें यह योग कम से कम 20 चाहिए।

• d = 6: 6 + 5 + 4 + 3 = 18 < 20 ✗
• d = 7: 7 + 6 + 5 + 4 = 22 ≥ 20 ✓

इसलिए सबसे अधिक पाने वाले को कम से कम 7 चॉकलेट मिलेंगी।

जाँच: 7 + 6 + 4 + 3 = 20 और सभी अलग-अलग ✓

उदाहरण 5 (बराबर वितरण और शेष)

47 कलम 6 बच्चों में बराबर बाँटी गईं। हर बच्चे को कितनी मिलीं, कितनी बचीं, और हर बच्चे को 8 कलम देने के लिए कितनी और कलम चाहिए?

47 ÷ 6 = 7, शेष 5

हर बच्चे को 7 कलम मिलीं और 5 कलम बचीं।
8 कलम प्रति बच्चा देने के लिए कुल = 6 × 8 = 48, इसलिए 1 और कलम चाहिए।

7. सामान्य गलतियाँ जिनसे बचें

1. कुल योग का समीकरण भूल जाना। सभी हिस्सों का जोड़ कुल के बराबर होना चाहिए।
2. "अधिक" और "कम" के चिह्न उलट देना। A को B से 4 अधिक = A = B + 4।
3. औसत को सबसे बीच का मान मान लेना। औसत = कुल ÷ संख्या।
4. अनुपात में कुल भाग गलत जोड़ना। 2 : 3 : 4 में कुल भाग 9 हैं।
5. मिलान में ✗ को याद न रखना। हर कटे हुए विकल्प को सारणी में निशान लगाएँ।
6. न्यूनतम/अधिकतम में बाकी सबको न्यूनतम न देना। अधिकतम तभी मिलेगा जब बाकी को न्यूनतम मिले।
7. अंत में जाँच न करना। मान को वापस कथनों में रखकर जोड़ देखें।

8. परीक्षा के लिए शॉर्टकट

• एक व्यक्ति के हिस्से को b मानकर बाकी सब b के रूप में लिखें, फिर कुल का समीकरण बनाएँ।
• औसत वाला व्यक्ति अक्सर सीधे कुल ÷ संख्या से निकल जाता है।
• अनुपात में 1 भाग पहले निकालें, फिर हर हिस्से का गुणा करें।
• अधिकतम: कुल − (बाकी की संख्या × उनका न्यूनतम)।
• अलग-अलग संख्या वाले प्रश्न में d, d − 1, d − 2... जोड़कर कुल से मिलाएँ।
• मिलान में ✓/✗ सारणी बनाएँ और "एकमात्र विकल्प" वाली पंक्ति या स्तंभ पहले पक्का करें।
• एक प्रश्न पर 40-60 सेकंड से ज़्यादा न लगाएँ।

9. अभ्यास प्रश्न

प्र.1 पाँच व्यक्तियों A, B, C, D, E में कुल 60 चॉकलेट बाँटी गईं। E को ठीक औसत संख्या में चॉकलेट मिलीं। A को B से 4 अधिक मिलीं। C को A से 3 अधिक मिलीं। D को B से 3 कम मिलीं। सबसे कम चॉकलेट किसे मिलीं, C और D के हिस्सों का अंतर क्या है, और A तथा E को मिलाकर कितनी मिलीं?

प्र.2 चार व्यक्तियों A, B, C, D को एक-एक फल दिया गया: सेब, आम, संतरा और केला (क्रम अज्ञात)। A को न सेब मिला, न केला। B को न आम मिला, न संतरा। C को न सेब मिला, न आम। D को न सेब मिला, न केला। D को आम नहीं मिला। A को क्या मिला, और C को क्या मिला?

प्र.3 1,200 रुपये X, Y और Z में 3 : 4 : 5 के अनुपात में बाँटे गए। हर एक को कितने रुपये मिले, और Z को X से कितने रुपये अधिक मिले?

प्र.4 (क) 30 चॉकलेट 5 बच्चों में इस तरह बाँटनी हैं कि हर बच्चे को कम से कम 3 मिलें। एक बच्चे को अधिकतम कितनी मिल सकती हैं? (ख) 30 चॉकलेट 5 बच्चों में इस तरह बाँटनी हैं कि सबको अलग-अलग संख्या में और कम से कम 1 मिलें। सबसे अधिक पाने वाले बच्चे को कम से कम कितनी मिलेंगी?

प्र.5 100 मिठाइयाँ 7 बच्चों में बराबर बाँटी गईं। (क) हर बच्चे को कितनी मिलीं और कितनी बचीं? (ख) हर बच्चे को 15 मिठाइयाँ देने के लिए कितनी और मिठाइयाँ चाहिए?

प्र.6 चार व्यक्तियों P, Q, R, S में कुल 44 संतरे बाँटे गए। P को Q से दोगुने संतरे मिले। R को Q से 5 अधिक मिले। S को P से 3 कम मिले। हर एक को कितने संतरे मिले?

प्र.7 600 रुपये तीन व्यक्तियों A, B, C में इस तरह बाँटे गए कि A को कुल का आधा मिला, B को शेष का एक-तिहाई मिला, और बाकी C को मिला। B और C को कितने-कितने रुपये मिले?

उत्तर और हल

उ.1 औसत = 60 ÷ 5 = 12, इसलिए E = 12।
माना B = b। A = b + 4, C = b + 7, D = b − 3।
कुल: (b + 4) + b + (b + 7) + (b − 3) + 12 = 60
4b + 20 = 60, इसलिए b = 10
A = 14, B = 10, C = 17, D = 7, E = 12
जाँच: 14 + 10 + 17 + 7 + 12 = 60 ✓
सबसे कम: D (7)
C − D = 17 − 7 = 10
A + E = 14 + 12 = 26

उ.2 संभावित फल:

• A: आम या संतरा
• B: सेब या केला
• C: संतरा या केला
• D: आम या संतरा (सेब और केला नहीं), और कथन के अनुसार आम नहीं, इसलिए D = संतरा

तब A का संतरा कटा और A = आम। C के लिए संतरा कट गया, इसलिए C = केला। बचा B = सेब।
A को: आम, C को: केला

उ.3 कुल भाग = 3 + 4 + 5 = 12, 1 भाग = 1,200 ÷ 12 = 100
X = 300 रुपये, Y = 400 रुपये, Z = 500 रुपये
Z − X = 2 भाग = 200 रुपये

उ.4 (क) बाकी 4 बच्चों को न्यूनतम 3-3 देने पर 4 × 3 = 12 चॉकलेट लगीं।
अधिकतम = 30 − 12 = 18 चॉकलेट

(ख) सबसे अधिक पाने वाले को d चॉकलेट मिलीं। हमें d + (d − 1) + (d − 2) + (d − 3) + (d − 4) ≥ 30 चाहिए।
5d − 10 ≥ 30, इसलिए d ≥ 8
d = 8 पर योग = 8 + 7 + 6 + 5 + 4 = 30 ✓
सबसे अधिक पाने वाले को कम से कम 8 चॉकलेट मिलेंगी।

उ.5 100 ÷ 7 = 14, शेष 2
(क) हर बच्चे को 14 मिठाइयाँ मिलीं और 2 बचीं।
(ख) 15 प्रति बच्चा देने के लिए कुल = 7 × 15 = 105, इसलिए 105 − 100 = 5 और मिठाइयाँ चाहिए।

उ.6 माना Q = q। P = 2q, R = q + 5, S = P − 3 = 2q − 3।
कुल: 2q + q + (q + 5) + (2q − 3) = 44
6q + 2 = 44, इसलिए q = 7
P = 14, Q = 7, R = 12, S = 11
जाँच: 14 + 7 + 12 + 11 = 44 ✓

उ.7 A = 600 का आधा = 300 रुपये।
शेष = 600 − 300 = 300 रुपये।
B = शेष का एक-तिहाई = 100 रुपये।
C = 300 − 100 = 200 रुपये।
B = 100 रुपये, C = 200 रुपये

10. सारांश

• एक हिस्से को अक्षर से मानकर बाकी सब उसी के रूप में लिखें।
• कुल योग का समीकरण हमेशा बनाएँ।
• औसत = कुल ÷ संख्या।
• अनुपात में 1 भाग = कुल ÷ अनुपात का योग।
• अधिकतम = कुल − (बाकी की संख्या × उनका न्यूनतम)।
• वस्तु-व्यक्ति मिलान में ✓/✗ सारणी बनाएँ।
• अंत में जाँच करें: सभी हिस्सों का जोड़ कुल के बराबर होना चाहिए।