Scheduling Puzzle Reasoning

1. परिचय

Scheduling Puzzle में कुछ कार्यक्रमों, बैठकों, परीक्षाओं या साक्षात्कारों को अलग-अलग समय-स्लॉट या दिनों में रखना होता है। हर कार्यक्रम के लिए कुछ शर्तें दी जाती हैं, जैसे "A, B से पहले होगा", "C और D लगातार नहीं होंगे", "E सबसे आख़िर में होगा"। बैंक (IBPS PO/Clerk, SBI), SSC, रेलवे, RPSC, RSMSSB और पुलिस परीक्षाओं में Puzzle के भाग के रूप में यह अक्सर पूछा जाता है।

इसकी विधि Day/Month Puzzle और Floor Puzzle जैसी ही है। फ़र्क यह है कि यहाँ शर्तों की जाँच और "कौन-सा क्रम संभव है" जैसे प्रश्न ज़्यादा आते हैं।

2. Scheduling Puzzle के प्रकार

प्रकार	क्या होता है
समय-स्लॉट आधारित	6 बैठकें सुबह 9 बजे से दोपहर 2 बजे तक
दिन आधारित	6 व्याख्यान सोमवार से शनिवार तक
संभावित क्रम (Possible Order)	"इनमें से कौन-सा क्रम सही है?"
दो गुणों वाला	व्यक्ति + दिन + विषय/पद का मिलान
समय की गणना	सत्र की अवधि और विराम जोड़कर समाप्ति का समय

3. मूल अवधारणा

• हर कार्यक्रम को एक अलग स्लॉट मिलता है (जब तक प्रश्न अन्यथा न कहे)।
• स्लॉट क्रम संख्या से देखे जाते हैं: 1, 2, 3...
• "पहले" का मतलब छोटी संख्या और "बाद में" का मतलब बड़ी संख्या।
• "ठीक पहले/ठीक बाद" का मतलब बिल्कुल अगला या पिछला स्लॉट (± 1)।

4. महत्वपूर्ण शब्द

शब्द	अर्थ
ठीक पहले/ठीक बाद (Immediately)	अगला या पिछला स्लॉट
के पहले/के बाद	कोई भी पहले/बाद वाला स्लॉट
के बीच में	दोनों के बीच के स्लॉट, दोनों शामिल नहीं
लगातार (Consecutive/Adjacent)	आसपास के दो स्लॉट
लगातार नहीं	कम से कम एक स्लॉट का अंतर
ठीक n कार्यक्रम बीच में	स्लॉट का अंतर = n + 1
पहला/अंतिम स्लॉट	स्थान 1 / स्थान n

5. उपयोगी सूत्र

स्थिति	सूत्र
दो कार्यक्रमों के बीच की संख्या	अंतर − 1
बीच में n कार्यक्रम हों	अंतर = n + 1
दो विशेष कार्यक्रम लगातार हों (n कार्यक्रम)	2 × (n − 1)! तरीके
एक कार्यक्रम तय जगह पर हो (n कार्यक्रम)	(n − 1)! तरीके
k सत्रों का कुल समय	k × अवधि + (k − 1) × विराम
m-वें सत्र का आरंभ	शुरुआत + (m − 1) × (अवधि + विराम)

6. हल करने की स्टेप-बाय-स्टेप विधि

1. स्लॉट की सूची बनाएँ (1 से n, या दिन/समय के नाम के साथ)।
2. पक्के कथन पहले भरें, जैसे "पहले स्लॉट में", "अंतिम स्लॉट में"।
3. "ठीक पहले/बाद" वाले कथनों को जोड़कर श्रृंखला बनाएँ।
4. "ठीक n कार्यक्रम बीच में" वाले कथन से अंतर निकालें।
5. दो संभावनाएँ बनें तो दोनों केस लिखें और बाद के कथन से एक काटें।
6. "संभावित क्रम" वाले प्रश्न में हर शर्त से विकल्पों को एक-एक करके काटें।
7. अंत में सभी शर्तों की जाँच करें।

7. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1 (समय-स्लॉट आधारित)

छह बैठकें A, B, C, D, E, F एक दिन में छह स्लॉट में होनी हैं: सुबह 9, 10, 11, दोपहर 12, 1 और 2 बजे (हर स्लॉट में एक बैठक)।

1. C सबसे आख़िरी स्लॉट (दोपहर 2 बजे) में है।
2. D सबसे पहले स्लॉट (सुबह 9 बजे) में है।
3. B और A के बीच में ठीक एक बैठक है, और B पहले है।
4. F, B के ठीक बाद है।
5. E, A के बाद है।

दोपहर 12 बजे कौन-सी बैठक है, D और A के बीच में कितनी बैठकें हैं, और E से ठीक पहले कौन-सी बैठक है?

स्लॉट: 9 बजे = 1, 10 बजे = 2, 11 बजे = 3, 12 बजे = 4, 1 बजे = 5, 2 बजे = 6

• कथन 1 और 2: C = स्लॉट 6, D = स्लॉट 1
• बचे स्लॉट 2 से 5 में A, B, E, F हैं।
• कथन 3: B और A के बीच एक बैठक, इसलिए अंतर 2 और B पहले है।
  • केस 1: B = 2, A = 4
  • केस 2: B = 3, A = 5
• कथन 4: F, B के ठीक बाद है।
  • केस 1 में F = 3, और बचा E = 5 (कथन 5: E, A के बाद है, 5 > 4 ✓)
  • केस 2 में F = 4, और E को A (स्लॉट 5) के बाद होना चाहिए, यानी स्लॉट 6 में, जो C का है। यह केस कट गया।

समय	बैठक
9 बजे	D
10 बजे	B
11 बजे	F
12 बजे	A
1 बजे	E
2 बजे	C

• दोपहर 12 बजे: A
• D (स्लॉट 1) और A (स्लॉट 4) के बीच में स्लॉट 2 और 3: 2 बैठकें (B और F)
• E (स्लॉट 5) से ठीक पहले: A

उदाहरण 2 (दिन आधारित)

छह विषयों के व्याख्यान गणित, भौतिकी, रसायन, जीव विज्ञान, अंग्रेज़ी और इतिहास सोमवार से शनिवार तक एक-एक दिन होने हैं (सोमवार = दिन 1)।

1. रसायन का व्याख्यान सप्ताह के पहले दिन है।
2. जीव विज्ञान का व्याख्यान सप्ताह के अंतिम दिन है।
3. अंग्रेज़ी और भौतिकी के बीच में ठीक दो व्याख्यान हैं।
4. अंग्रेज़ी का व्याख्यान भौतिकी से पहले है।
5. गणित का व्याख्यान इतिहास के ठीक एक दिन पहले है।

बुधवार को कौन-सा विषय है, रसायन और गणित के बीच में कितने व्याख्यान हैं, और इतिहास के ठीक बाद कौन-सा विषय है?

• कथन 1 और 2: रसायन = दिन 1, जीव विज्ञान = दिन 6
• बचे दिन 2 से 5 में अंग्रेज़ी, भौतिकी, गणित और इतिहास हैं।
• कथन 3: अंग्रेज़ी और भौतिकी के बीच दो व्याख्यान, इसलिए अंतर 3। दिन 2 से 5 में केवल जोड़ी (2, 5) बनती है।
• कथन 4: अंग्रेज़ी पहले है, इसलिए अंग्रेज़ी = दिन 2, भौतिकी = दिन 5
• बचे दिन 3 और 4 में गणित और इतिहास। कथन 5 से गणित = दिन 3, इतिहास = दिन 4

दिन	विषय
सोमवार	रसायन
मंगलवार	अंग्रेज़ी
बुधवार	गणित
गुरुवार	इतिहास
शुक्रवार	भौतिकी
शनिवार	जीव विज्ञान

• बुधवार को: गणित
• रसायन (दिन 1) और गणित (दिन 3) के बीच में दिन 2: 1 व्याख्यान (अंग्रेज़ी)
• इतिहास (दिन 4) के ठीक बाद: भौतिकी

उदाहरण 3 (संभावित क्रम)

पाँच कार्य P, Q, R, S, T एक के बाद एक पूरे करने हैं। नियम:

1. T सबसे आख़िर में किया जाएगा।
2. P, Q से पहले किया जाएगा।
3. R और S लगातार (आसपास) नहीं किए जाएँगे।

(क) निम्न में से कौन-सा क्रम संभव है?
(a) R P S Q T (b) P Q R S T (c) Q P R S T (d) P R Q T S (e) S R P Q T

(ख) अगर S सबसे पहले और Q तीसरे स्थान पर हो, तो पूरा क्रम क्या होगा?

(क) हर विकल्प को नियमों से जाँचें:

• (a) R P S Q T → T आख़िर में ✓, P (2) Q (4) से पहले ✓, R (1) और S (3) लगातार नहीं ✓ → संभव
• (b) P Q R S T → R और S लगातार (स्थान 3, 4) ✗
• (c) Q P R S T → Q, P से पहले है ✗
• (d) P R Q T S → T आख़िर में नहीं है ✗
• (e) S R P Q T → S और R लगातार (स्थान 1, 2) ✗

उत्तर: (a)

(ख) S = स्थान 1, Q = स्थान 3, T = स्थान 5।
P, Q से पहले है और बचे स्थान 2 और 4 में, इसलिए P = स्थान 2, और R = स्थान 4।
जाँच: S (1) और R (4) लगातार नहीं ✓
क्रम: S P Q R T

उदाहरण 4 (दो गुणों वाला शेड्यूल)

चार प्रशिक्षु A, B, C, D सोमवार से गुरुवार तक एक-एक दिन प्रशिक्षण लेते हैं। हर दिन एक अलग विषय पढ़ाया जाता है: एक्सेल, वर्ड, ईमेल और टाइपिंग।

1. A का प्रशिक्षण सोमवार को है।
2. B का प्रशिक्षण C के ठीक एक दिन पहले है।
3. D टाइपिंग सीखता है।
4. वर्ड का सत्र एक्सेल के ठीक एक दिन पहले है।
5. ईमेल का सत्र सोमवार को नहीं है।

C कौन-सा विषय सीखता है, D का प्रशिक्षण किस दिन है, और एक्सेल कौन सीखता है?

कथन 1: A = सोमवार। कथन 2 से (B, C) = (मंगल, बुध) या (बुध, गुरु)।

केस 1: B = मंगल, C = बुध, D = गुरु
D टाइपिंग सीखता है, यानी गुरुवार को टाइपिंग। बचे दिन सोम, मंगल, बुध में वर्ड, एक्सेल, ईमेल हैं। वर्ड के ठीक बाद एक्सेल (कथन 4), इसलिए:

• (सोम, मंगल) में वर्ड-एक्सेल और ईमेल बुध को, या
• (मंगल, बुध) में वर्ड-एक्सेल और ईमेल सोमवार को

कथन 5: ईमेल सोमवार को नहीं है, इसलिए पहला विकल्प: वर्ड सोम, एक्सेल मंगल, ईमेल बुध।

केस 2: D = मंगल, B = बुध, C = गुरु
D टाइपिंग सीखता है (मंगल)। बचे दिन सोम, बुध, गुरु में वर्ड, एक्सेल, ईमेल हैं। वर्ड-एक्सेल लगातार होने के लिए केवल (बुध, गुरु) बनता है, और ईमेल सोमवार को आता है। यह कथन 5 के विरुद्ध है। यह केस कट गया।

दिन	प्रशिक्षु	विषय
सोमवार	A	वर्ड
मंगलवार	B	एक्सेल
बुधवार	C	ईमेल
गुरुवार	D	टाइपिंग

• C: ईमेल
• D: गुरुवार
• एक्सेल: B

उदाहरण 5 (समय की गणना)

एक प्रशिक्षण सुबह 9:30 बजे शुरू होता है। हर सत्र 45 मिनट का है और दो सत्रों के बीच 15 मिनट का विराम है। (क) चौथा सत्र कब समाप्त होगा? (ख) अगर दोपहर 1:30 बजे भोजन है, तो भोजन से पहले कितने सत्र पूरे होंगे?

(क) एक सत्र और उसके बाद का विराम = 45 + 15 = 60 मिनट।

• सत्र 1: 9:30 से 10:15
• सत्र 2: 10:30 से 11:15
• सत्र 3: 11:30 से 12:15
• सत्र 4: 12:30 से 1:15 बजे (दोपहर)

(ख) सत्र 4 दोपहर 1:15 पर समाप्त होता है। सत्र 5, 1:30 पर शुरू होता, पर तभी भोजन है। इसलिए भोजन से पहले 4 सत्र पूरे होंगे।

8. सामान्य गलतियाँ जिनसे बचें

1. "के बाद" और "ठीक बाद" में अंतर न करना। ठीक बाद = अगला स्लॉट।
2. "के बीच में" में दोनों को गिन लेना।
3. "लगातार नहीं" को "दूर-दूर" समझ लेना। इसका मतलब केवल यह है कि बीच में कम से कम एक स्लॉट खाली है।
4. "संभावित क्रम" में सारी शर्तें एक साथ जाँचना। एक-एक शर्त से विकल्प काटते चलें।
5. दो संभावनाओं में से एक को जल्दी चुन लेना। दोनों केस लिखें।
6. समय की गणना में आख़िरी सत्र के बाद विराम जोड़ देना। n सत्रों में विराम n − 1 होते हैं।
7. अंत में जाँच न करना। एक छूटी शर्त पूरा हल बिगाड़ सकती है।

9. परीक्षा के लिए शॉर्टकट

• "संभावित क्रम" वाले प्रश्न में सबसे आसान शर्त (जैसे "T आख़िर में") से विकल्प काटना शुरू करें।
• पहले और अंतिम स्लॉट वाली शर्तें सबसे पहले लगाएँ।
• ठीक n बीच में = अंतर n + 1।
• ठीक पहले/बाद वाले कथनों को ब्लॉक बनाकर खाली जगह में फिट करें।
• दो विशेष कार्य लगातार हों तो उन्हें एक इकाई मानें: 2 × (n − 1)!।
• समय के प्रश्न में एक सत्र + एक विराम का चक्र निकालकर गुणा करें।
• एक पज़ल पर 6 से 8 मिनट से ज़्यादा न लगाएँ।

10. अभ्यास प्रश्न

प्र.1 छह कार्यक्रम A, B, C, D, E, F एक दिन में छह स्लॉट (सुबह 9, 10, 11, दोपहर 12, 1 और 2 बजे) में होने हैं। D सबसे आख़िरी स्लॉट में है। B सबसे पहले स्लॉट में है। E और F के बीच में ठीक एक कार्यक्रम है और E पहले है। A, E के ठीक बाद है। C, F के बाद है। सुबह 11 बजे कौन-सा कार्यक्रम है, और B तथा F के बीच में कितने कार्यक्रम हैं?

प्र.2 छह विषयों के व्याख्यान भूगोल, हिंदी, विज्ञान, गणित, नागरिक शास्त्र और अंग्रेज़ी सोमवार से शनिवार तक एक-एक दिन होने हैं। भूगोल पहले दिन और अंग्रेज़ी अंतिम दिन है। हिंदी और नागरिक शास्त्र के बीच में ठीक दो व्याख्यान हैं। हिंदी, नागरिक शास्त्र से पहले है। विज्ञान, गणित के ठीक एक दिन पहले है। गुरुवार को कौन-सा विषय है, और भूगोल तथा विज्ञान के बीच में कितने व्याख्यान हैं?

प्र.3 पाँच वक्ता V, W, X, Y, Z एक के बाद एक बोलेंगे। नियम: (i) W, Y से पहले बोलेगा। (ii) X, Z के ठीक पहले या ठीक बाद नहीं बोलेगा। (iii) V सबसे आख़िर में बोलेगा। निम्न में से कौन-सा क्रम संभव है?
(a) W X Y Z V (b) X Z W Y V (c) Y W X Z V (d) W Y Z X V (e) Z W Y V X

प्र.4 एक कार्यशाला सुबह 10:00 बजे शुरू होती है। हर सत्र 40 मिनट का है और हर सत्र के बाद 10 मिनट का विराम है। (क) तीसरा सत्र कब समाप्त होगा? (ख) चौथा सत्र कब शुरू होगा?

प्र.5 चार उम्मीदवार P, Q, R, S का साक्षात्कार सोमवार से गुरुवार तक एक-एक दिन होना है। हर दिन एक अलग पद के लिए साक्षात्कार है: क्लर्क, कैशियर, अधिकारी और प्रबंधक। P का साक्षात्कार सोमवार को है। R का साक्षात्कार Q के ठीक अगले दिन है। S प्रबंधक पद के लिए आया है। कैशियर पद का साक्षात्कार अधिकारी पद के ठीक एक दिन पहले है। P क्लर्क पद के लिए आया है। S का साक्षात्कार R के बाद है। अधिकारी पद के लिए कौन आया है, और कैशियर पद का साक्षात्कार किस दिन है?

प्र.6 (क) 5 बैठकें 5 स्लॉट में रखनी हैं। दो विशेष बैठकें A और B लगातार स्लॉट में होनी चाहिए। कुल कितने क्रम संभव हैं? (ख) 6 बैठकें 6 स्लॉट में रखनी हैं और बैठक C सबसे आख़िरी स्लॉट में है। कुल कितने क्रम संभव हैं?

प्र.7 एक सम्मेलन सुबह 9:00 बजे शुरू होता है। इसमें 5 वार्ताएँ हैं। हर वार्ता 30 मिनट की है और हर वार्ता के बाद 10 मिनट का विराम है (अंतिम वार्ता के बाद विराम नहीं है)। (क) तीसरी वार्ता कब शुरू होगी? (ख) सम्मेलन कब समाप्त होगा?

उत्तर और हल

उ.1 D = स्लॉट 6, B = स्लॉट 1। E और F के बीच एक कार्यक्रम, इसलिए अंतर 2 और E पहले है: (E, F) = (2, 4) या (3, 5)।

• अगर E = 3, F = 5, तो A = 4 और बचा C = 2, जो F के बाद नहीं है। यह केस कट गया।
• इसलिए E = 2, F = 4, A = 3, और बचा C = 5 (F के बाद ✓)।

क्रम: B (9), E (10), A (11), F (12), C (1), D (2)
सुबह 11 बजे: A
B (स्लॉट 1) और F (स्लॉट 4) के बीच में स्लॉट 2 और 3: 2 कार्यक्रम (E और A)

उ.2 भूगोल = दिन 1, अंग्रेज़ी = दिन 6। हिंदी और नागरिक शास्त्र के बीच दो व्याख्यान, इसलिए अंतर 3, और बचे दिन 2 से 5 में जोड़ी (2, 5) बनती है। हिंदी पहले है, इसलिए हिंदी = दिन 2, नागरिक शास्त्र = दिन 5। बचे दिन 3 और 4: विज्ञान = 3, गणित = 4।
क्रम: भूगोल, हिंदी, विज्ञान, गणित, नागरिक शास्त्र, अंग्रेज़ी
गुरुवार (दिन 4): गणित
भूगोल (1) और विज्ञान (3) के बीच में दिन 2: 1 व्याख्यान (हिंदी)

उ.3 हर विकल्प की जाँच:

• (a) W X Y Z V → W (1) Y (3) से पहले ✓, X (2) और Z (4) लगातार नहीं ✓, V आख़िर में ✓ → संभव
• (b) X Z W Y V → X और Z लगातार ✗
• (c) Y W X Z V → W, Y के बाद है ✗
• (d) W Y Z X V → Z और X लगातार ✗
• (e) Z W Y V X → V आख़िर में नहीं है ✗

उत्तर: (a)

उ.4 एक सत्र + विराम = 40 + 10 = 50 मिनट।

• सत्र 1: 10:00 से 10:40, विराम के बाद 10:50 तक
• सत्र 2: 10:50 से 11:30, विराम के बाद 11:40 तक
• सत्र 3: 11:40 से 12:20

(क) तीसरा सत्र 12:20 बजे समाप्त होगा।
(ख) चौथा सत्र 12:20 + 10 मिनट = 12:30 बजे शुरू होगा।

उ.5 P = सोमवार (क्लर्क)। (Q, R) = (मंगल, बुध) या (बुध, गुरु)।

• अगर (Q, R) = (बुध, गुरु), तो S = मंगल, पर S का साक्षात्कार R के बाद होना चाहिए (कथन)। मंगल < गुरु ✗। यह केस कट गया।
• इसलिए Q = मंगल, R = बुध, S = गुरु (प्रबंधक)।
• बचे पद कैशियर और अधिकारी मंगल और बुध के लिए। कैशियर, अधिकारी के ठीक एक दिन पहले है, इसलिए कैशियर = मंगल (Q), अधिकारी = बुध (R)।

अधिकारी पद के लिए: R
कैशियर पद का साक्षात्कार: मंगलवार

उ.6 (क) A और B को एक इकाई मानें। तब 4 इकाइयाँ हुईं, जिनके क्रम 4! = 24 हैं। A और B आपस में 2 तरह से बैठ सकते हैं।
कुल = 2 × 24 = 48 क्रम

(ख) C आख़िरी स्लॉट में तय है। बाकी 5 बैठकें 5 स्लॉट में 5! = 120 तरह से लग सकती हैं।
कुल = 120 क्रम

उ.7 एक वार्ता और उसके बाद का विराम = 30 + 10 = 40 मिनट।
(क) तीसरी वार्ता 2 चक्र बाद शुरू होगी: 9:00 + 2 × 40 मिनट = 9:00 + 80 मिनट = 10:20 बजे।
(ख) कुल समय = 5 × 30 + 4 × 10 = 150 + 40 = 190 मिनट = 3 घंटे 10 मिनट।
सम्मेलन 12:10 बजे समाप्त होगा।

11. सारांश

• स्लॉट की सूची बनाकर पक्के कथन (पहला, अंतिम) पहले भरें।
• ठीक पहले/बाद = ± 1, ठीक n बीच में = अंतर n + 1।
• "लगातार नहीं" का मतलब कम से कम एक स्लॉट का अंतर है।
• "संभावित क्रम" वाले प्रश्न में एक-एक शर्त से विकल्प काटें।
• दो संभावनाओं पर दोनों केस बनाकर एक को काटें।
• समय की गणना में n सत्रों के बीच n − 1 विराम होते हैं।
• अंत में सभी शर्तों की जाँच करें।